隣接三項間漸化式の線形的アプローチ

$\forall n\in\mathbb{N}\quad f_{n+2}=pf_{n+1}+qf_{n}\quad (p,q\in\mathbb{R})\tag{1}$

の漸化式を満たす実数列 ${\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}}$ を考察する。

　まず、数列 ${\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}}$ と ${\{b_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}}$ が(1)を満たすとする。このとき、任意の ${\alpha\in\mathbb{R}}$ に対して

$\alpha a_{n+2}=p(\alpha a_{n+1})+q(\alpha a_{n})$

$(a_{n+2}+b_{n+2})=p(a_{n+1}+b_{n+1})+q(a_{n}+b_{n})$

を満たす。本来はまだ確かめる条件はあるが、殆ど自明であることばかりなのでそれらは割愛する。これら2式から、(1)の解の集合 ${V=\{\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}|\forall n\in\mathbb{N}\quad a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_{n}\}}$ は ${\mathbb{R}}$ 上のベクトル空間であることが分かる。なお、 ${V}$ の加算と乗算について

$\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}}+{\{b_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}}={\{a_{n}+b_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$

$\alpha \{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}}={\{\alpha a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$

と定義した。

　次に、 ${\dim V}$ 、つまり ${V}$ の基底の個数を考える。 ${\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}}$ は(1)から ${a_1\in\mathbb{R}}$ と ${a_2\in\mathbb{R}}$ によって一意に定まる。よって ${V}$ の元は ${a_1}$ と ${a_2}$ の関数であり ${\{a_{n}(a_1,a_2)\}_{n\in\mathbb{N}}}$ と表せる。これをもとに乗算と加算をみると

$\{a_{n}(a_1,a_2)\}_{n\in\mathbb{N}}}+{\{a_{n}(b_1,b_2)\}_{n\in\mathbb{N}}}={\{a_{n}(a_1+b_1,a_2+b_2)\}_{n\in\mathbb{N}}$

$\alpha \{a_{n}(a_1,a_2)\}_{n\in\mathbb{N}}}={\{a_{n}(\alpha a_1,\alpha a_2)\}_{n\in\mathbb{N}}$

が成立する。これらは

${\displaystyle\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}=\{b_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\iff a_1=b_1\wedge a_2=b_2}$

から分かる。ここから ${\varphi:V\ni\{a_{n}(a_1,a_2)\}_{n\in\mathbb{N}}\to(a_1,a_2)\in\mathbb{R}^2}$ という写像を考えることが出来て、さらに、 ${\varphi}$ は全単射かつ線形であることが確かめられるので、 ${\varphi}$ は同型写像、また ${V}$ と ${\mathbb{R}^2}$ は同型であるといえる。よって