等電位面の満たす条件 - CとAの数物 Note

等電位面が満たす条件を調べる。
$\lambda$ を変数とする、曲面群 $f(x,y,z,\lambda)=0$ が電荷の無い空間で等電位面群になる条件は

$\displaystyle F=\left(\frac{\partial^2 \lambda}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \lambda}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \lambda}{\partial z^2}\right)/\left\{\left(\frac{\partial \lambda}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial \lambda}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial \lambda}{\partial z}\right)^2\right\}$

が $\lambda$ だけの関数になることである。

証明
電荷の無い領域では電位 $\varphi$ はラプラス方程式

$\displaystyle \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2}=0$

を満たす。曲面群 $f(x,y,z,\lambda)=0$ のなかの一つの曲面は $\lambda$ を定めることにより定まり、等電位面では $\varphi$ は一定なので、 $\varphi$ は $\lambda$ のみで表すことが出来る筈である。このとき

$\displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{d\varphi}{d\lambda}\frac{\partial \lambda}{\partial x}$ , $\displaystyle \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}=\frac{d\varphi}{d\lambda}\frac{\partial^2 \lambda}{\partial x^2}+\frac{d^2\varphi}{d\lambda^2}\left(\frac{\partial \lambda}{\partial x}\right)^2$

が成り立つ。 $y,z$ についても同様。これらをラプラス方程式に代入すれば

$\displaystyle\frac{d\varphi}{d\lambda}\left(\frac{\partial^2 \lambda}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \lambda}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \lambda}{\partial z^2}\right)+\frac{d^2\varphi}{d\lambda^2}\left\{\left(\frac{\partial \lambda}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial \lambda}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial \lambda}{\partial z}\right)^2\right\}=0$

つまり

$\displaystyle \begin{align}F&=\left(\frac{\partial^2 \lambda}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \lambda}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \lambda}{\partial z^2}\right)/\left\{\left(\frac{\partial \lambda}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial \lambda}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial \lambda}{\partial z}\right)^2\right\}\\ &=-\frac{d^2\varphi}{d\lambda^2}/\frac{d\varphi}{d\lambda}\end{align}$

となり $F$ は $\lambda$ のみの関数である。
逆に $F$ が $\lambda$ のみの関数であるとき

$\displaystyle \frac{d}{d\lambda}\left(\frac{d\varphi}{d\lambda}\right)/\frac{d\varphi}{d\lambda}=-F(\lambda)$

積分して

$\displaystyle \log \left(\frac{d\varphi}{d\lambda}\right)=-\int^{\lambda}{Fd\lambda}+C$
$\displaystyle \frac{d\varphi}{d\lambda}=A\exp\left(-\int^{\lambda}{Fd\lambda}\right)$

更に積分して

$\displaystyle \varphi(\lambda)=A\int^{\lambda}{\exp\left(-\int^{\lambda}{Fd\lambda}\right)d\lambda}+B$

となる。これはラプラス方程式を満たすため、 $\lambda$ で表される等電位面が定まる。
証明終