CとAの数物 Note

数学と物理のはざまに棲息。

Maxwell方程式の高次元化(電磁テンソル)

\displaystyle {F}^{\mu \nu }= {\eta }^{\mu \rho }{\partial }_{\rho }{A}^{\nu }-{\eta }^{\mu \nu }{\partial }_{\rho }{A}^{\rho }

と表されるテンソルを前頁で定義した。

c-and-a.hatenablog.com

このテンソルが表すものを探る。まず定義から、 \mu=\nu のとき、{F}^{\mu \nu }=0で、また、{F}^{\mu \nu }=-{F}^{\nu \mu } が恒等的に成り立つので、反対称テンソルである。

\mu = 0,\nu = i(=1,2,3) のとき

\displaystyle \begin{align} {F}^{0i}&={\eta }^{0\rho }{\partial }_{\rho }{A}^{i}-{\eta }^{i\rho }{\partial }_{\rho }{A}^{0} \\ &={\partial }_{0}{A}^{i}+{\partial }_{i}{A}^{0} \\ &=\frac {1}{c}\frac {\partial {A}^{i}}{\partial t}+\frac {1}{c}\frac {\partial \phi }{\partial {x}^{i}}=-{{{E}_{i}}/{c}}\end{align}

\displaystyle \left({\because \boldsymbol{E}=-\nabla \phi -\frac {\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}}\right)

同様にして

\displaystyle \boldsymbol{B}=\nabla \times \boldsymbol{A}

から、他の成分についても分かるので

\displaystyle \left({{F}^{\mu \nu }}\right)=\left({\begin{matrix}0& -{{{E}_{1}}/{c}}& -{{{E}_{2}}/{c}}& -{{{E}_{3}}/{c}}\\ {{{E}_{1}}/{c}}& 0& -{B}_{3}& {B}_{2}\\ {{{E}_{2}}/{c}}& {B}_{3}& 0& -{B}_{1}\\ {{{E}_{3}}/{c}}& -{B}_{2}& {B}_{1}& 0\end{matrix}}\right)

と確かめられる。このように成分が電場と磁場を表すので、このテンソルのことを電磁テンソルという。