物理よりな微分幾何②　接続と共変微分

　前回は、ベクトルの定義をして、ベクトル場やテンソル場などは、ベクトル束の切断である、との話をしました。続いては、共変微分についての数学的表現を話していきます。
　最初に共変微分の定義をのべて、そこから、物理での共変微分とそれが一致することをみていきます。

定義　共変微分(covariant derivative)
　ベクトル束 $\pi:E\to M$ 上の共変微分 $\overline{D}:\Gamma(E)\to \Gamma(T^*M\otimes E)$ とは以下を満たす写像である。

$\overline{D}$ は線形写像である。
$\displaystyle \overline{D}(c_1 \xi_1+c_2 \xi_2)=c_1\overline{D}\xi_1+c_2\overline{D}\xi_2,\ c_1,c_2\in\mathbb{R},\ \xi_1,\xi_2\in\Gamma(E)$
$\overline{D}$ はライプニッツ則を満たす。

$\displaystyle \overline{D}(f\xi)=df\xi+f\overline{D}\xi,\ \ f\in C^\infty(M),\ \xi\in\Gamma(E)$

　まず、 $T^*M\otimes E$ について説明します。もう少し一般化して $\wedge^k M\otimes E$ について考えましょう。この切断 $\overline{\sigma}\in\Gamma(\wedge^k M\otimes E)$ は

$\displaystyle \overline{\sigma } =\frac{1}{k!} e\left( \land ^{k} dx\right) \sigma :=\frac{1}{k!} \sigma _{\mu _{1} \cdots \mu _{k}}^{i} e_{i} \otimes dx^{\mu _{1}} \land \cdots \land dx^{\mu _{k}}$

とかけます。ここで $\sigma _{\mu_{1} \cdots \mu_{k}}^{i}e_{i}\in E_x$ であるので、 $\sigma$ は $E$ 値 $k$ 形式と呼ばれます。これらを

$\displaystyle \wedge^k E:=\wedge^k M\otimes E,\ \ \Omega^k(E):=\Gamma(\wedge^k E)$

とかいておきます。また、 $\Omega^0(E)=\Gamma(E)$ とします。これは

$\displaystyle \overline{\sigma} =\left( e_{1} ,\dotsc ,e_{r}\right)\begin{pmatrix} \frac{1}{k!}\sigma _{\mu_{1} \cdots \mu_{k}}^{1}dx^{\mu_{1}} \land \cdots \land dx^{\mu_{k}}\\ \vdots \\ \frac{1}{k!}\sigma _{\mu_{1} \cdots \mu_{k}}^{r}dx^{\mu_{1}} \land \cdots \land dx^{\mu_{k}} \end{pmatrix}$

とかいたほうが分かりやすいかもしれません。つまり、 $E$ 値 $k$ 形式は成分が $k$ 形式のベクトルと表せます。
　また、線形性とライプニッツ則は微分であるためには満たさなければいけません。一般に数学では、線形性とライプニッツ則みたす写像を微分といいます。

　 $\overline{\sigma}\in\Gamma(E)=\Omega^0(E)$ に対し、 $\overline{D}\overline{\sigma}\in\Omega^1(E)$ は $E$ に値をとる１次微分形式なので

$\displaystyle \overline{D}\overline{\sigma } =edx( D\sigma ) =\left( D_{\mu } \sigma ^{i}\right) e_{i} dx^{\mu } , D_{\mu } \sigma ^{i} :=( D\sigma )_{\mu }^{i}$

と展開できます。この展開係数が物理でよくみる形の共変微分になります。座標変換を考えてみると

$\displaystyle e_{i} dx^{\mu } ={s^{j}}_{i}\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x ^{\prime\nu }} e^\prime _{j} dx^{\prime\nu }$

になるので、 $\overline{D}\overline{\sigma } =edxD\sigma =e^\prime dx^\prime D^\prime \sigma^ \prime$ に注意すると、成分について

$\displaystyle D^\prime _{\nu } \sigma ^{\prime j} ={s^{j}}_{i}\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x ^{\prime \nu }} D_{\mu } \sigma ^{i}$

と変換されることがわかります。確かに共変微分が共変的な変換を受けていることが分かります。

　 $D\sigma$ はライプニッツ則から

$\displaystyle \overline{D}\overline{\sigma } =\overline{D}( e\sigma ) =\overline{D} e\cdot \sigma +ed\sigma$

とかけます。ここで、 $e_i\in\Gamma(E)$ であり、 $\overline{D} e\in\Omega^1(E)$ となるので、 $\overline{D} e$ は $E$ 値１形式になります。このため、 $\overline{D} e$ を $e_i$ で再度展開すると

$\displaystyle \overline{D} e=eA,\ \overline{D} e_{i} =e_{j} A^{j}{}_{i}$

とかけます。 $A$ は１次微分形式の行列とみることができ、これを接続、または接続形式といいます。（共変微分のことを接続という本もあります）
　接続を用いると共変微分は

$\displaystyle \overline{D}\overline{\sigma } =\overline{D} e\cdot \sigma +ed\sigma =eD\sigma ,\ D:=d+A$

とかけます。物理では基本的に基底を明示しないで、成分だけで議論をすすめるので、共変微分を $D\sigma=d\sigma+A\sigma$ のようにかいています。また、 $A=A_\mu dx^\mu$ と展開すれば

$\displaystyle D_{\mu } \sigma =( \partial _{\mu } +A_{\mu }) \sigma$

ともかけます。 $\partial _{\mu}$ は偏微分 $\partial/\partial x^\mu$ のことですが、 $TM$ の基底と区別するため $\partial _{\mu}$ とかいています。また、 $A$ は微分形式の添え字と、行列の添え字の計３つの添え字をもつ量であり、これはクリストッフェル記号が添え字を３つもつことに対応します。

　共変微分と接続の変換性について見ていきましょう。 $e^\prime =es$ と変換することを考えます。まず、共変微分について

$\displaystyle \overline{D}\overline{\sigma } = eD\sigma=e^\prime s^{-1} D ( s\sigma^\prime) =e^\prime D^\prime \sigma ^\prime$

より

$\displaystyle D^\prime\sigma^\prime =s^{-1}D( s\sigma^\prime )$

が成り立つちます。これを $D^\prime=s^{-1} D s$ とかくことがあります。また、接続は

$\displaystyle s^{-1}D\left( s\sigma^ \prime \right) =D^\prime \sigma ^\prime =( d+A^\prime ) \sigma^ \prime$

$\displaystyle s^{-1}D\left( s \sigma^ \prime \right) =s^{-1}( d+A)\left( s\sigma ^\prime \right) =\left( d+s^{-1}As +s^{-1}ds\right) \sigma^ \prime$

の２式がそれぞれなりたつので、見比べて

$\displaystyle A^\prime =s^{-1}As +s^{-1}ds$

という変換を受けます。このように、接続の変換には変換関数の微分が影響してきます。変換の１項目と２項目で微分の階数がことなってしまうため、接続は幾何学的な量で表すことが出来ません。つまり、接続は基底を定めて初めて表現できる量になります。このことは、あとで主束というものを考えるモチベーションとなります。また、このため、 $A$ にはオーバーラインをつけていません。

　続いて、 $E$ の共変微分から、双対束 $E^*$ の共変微分を導入します。 $\overline{X}\in\Gamma(E)$ と、 $\overline{Y}\in\Gamma(E^*)$ に対し、 $E^*$ の共変微分 $\overline{D}\overline{Y}$ を

$\displaystyle d\langle \overline{Y} ,\overline{X}\rangle =\langle\overline{D}\overline{Y} ,\overline{X}\rangle +\langle\overline{Y} ,\overline{D}\overline{X}\rangle$

を満たすように定めます。 $e$ の双対基底を $f$ とします。つまり $\langle f^i,e_j\rangle=\delta^i_j$ とします。これを用いて、 $\overline{Y}=fY:=f^iY_i$ と展開すれば、内積は

$\displaystyle \langle \overline{Y} ,\overline{X}\rangle =\langle fY,eX\rangle =Y_{i} X^{i} ={}^{t} YX$

と表せます。よって

$\displaystyle d\langle \overline{Y} ,\overline{X}\rangle ={}^{t}dYX+{}^{t} YdX$

が成り立ちます。また、 $E$ の接続を $A$ 、 $E^*$ の接続を $A^*$ とすると

$\displaystyle \langle \overline{D}\overline{Y} ,\overline{X}\rangle ={}^{t}\left(\left( d+A^{*}\right) Y\right) X={}^{t}dYX+{}^{t} Y^{t} A^{*} X$

と

$\displaystyle \langle \overline{Y} ,\overline{D}\overline{X}\rangle ={}^{t} Y( d+A) X={}^{t} YdX+{}^{t} YAX$

が成り立つので、見比べると

$\displaystyle A^{*} =-{}^{t} A$

を得ます。
　また、 $E$ と $F$ のテンソル束 $E\otimes F$ の共変微分は $\overline{X}\in\Gamma(E\otimes F)$ を

$\displaystyle\overline{X}=efX=e_if_jX^{ij}$

と展開すれば

$\displaystyle\overline{D}\overline{X} =\overline{D} efX+e\overline{D} fX+efdX=ef( d+A_{E} +A_{F}) X$

となります。添え字をもどすと

$\displaystyle DX^{ij} =dX^{ij} +( A_{E})^{i}{}_{k} X^{kj} +( A_{F})^{j}{}_{k} X^{ik}$

とかけます。

　最後に、一般相対性理論の共変微分の式を導いておきます。相対論では $\overline{X}\in\Gamma(TM)$ 、つまり、反変ベクトル場の共変微分をクリストッフェル記号を用いて

$\displaystyle D_{\mu } X^{\nu } =\partial _{\mu } X^{\nu } +\Gamma _{\mu \rho }^{\nu } X^{\rho }$

と表します。これは接続を ${A^\nu}_\rho=\Gamma _{\mu\rho }^{\nu }dx^\mu$ と表していることを意味します。まずは、クリストッフェル記号の変換を考えてみましょう。基底は

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial x^{\prime \mu }} =\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}\frac{\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}$

と変換されるので、接続の変換式は

$\displaystyle A ^{\prime\mu }{}_{\nu } =\frac{\partial x ^{\prime\mu }}{\partial x^{\rho }} A^{\rho }{}_{\sigma }\frac{\partial x^{\sigma }}{\partial x ^{\prime\nu }} +\frac{\partial x ^{\prime\mu }}{\partial x^{\rho }} d\left(\frac{\partial x^{\rho }}{\partial x ^{\prime\nu }}\right)$

となります。さらに、 $A ^{\prime\mu }{}_{\nu }=\Gamma^{\prime\mu}_{\lambda\nu}dx^{\prime\lambda}$ と $A^{\rho }{}_{\sigma }=\Gamma^\rho_{\kappa\sigma}dx^\kappa$ と展開すれば

$\displaystyle \Gamma^{\prime\mu}_{\lambda\nu}dx^{\prime\lambda}=\frac{\partial x ^{\prime\mu }}{\partial x^{\rho }} \Gamma^\rho_{\kappa\sigma}\frac{\partial x^{\sigma }}{\partial x ^{\prime\nu }}dx^\kappa +\frac{\partial x ^{\prime\mu }}{\partial x^{\rho }} \frac{\partial}{\partial x^\kappa}\left(\frac{\partial x^{\rho }}{\partial x ^{\prime\nu }}\right)dx^\kappa$

となるので

$\displaystyle \Gamma _{\lambda \nu }^{\prime \mu } =\frac{\partial x ^{\prime\mu }}{\partial x^{\rho }}\frac{\partial x^{\kappa }}{\partial x^{\prime\lambda }}\frac{\partial x^{\sigma }}{\partial x^{\prime\nu }} \Gamma _{\kappa \sigma }^{\rho } +\frac{\partial x ^{\prime\mu }}{\partial x^{\rho }}\frac{\partial ^{2} x^{\rho }}{\partial x^{\prime\lambda } \partial x ^{\prime\nu }}$

また、共変ベクトルの共変微分は $\overline{Y}\in\Gamma(T^*M)$ に対して

$\displaystyle DY=dY-{}^{t} AY$

が成り立つので

$\displaystyle D_{\mu } Y_{\nu } =\partial _{\mu } Y_{\nu } -\Gamma _{\mu \nu }^{\rho } Y_{\rho }$

となります。さらにテンソル場 $\overline{T}\in\Gamma({T^{r}}_{s}M)$ についても、

$\displaystyle \begin{aligned}D_{\rho } T^{\mu _{1} \cdots \mu _{r}}{}_{\nu _{1} \cdots \nu _{s}} &=\partial _{\rho } T^{\mu _{1} \cdots \mu _{r}}{}_{\nu _{1} \cdots \nu _{s}}\\ &+\sum _{i=1}^{r} \Gamma _{\rho \lambda }^{\mu _{i}} T^{\mu _{1} \cdots \lambda \cdots \mu _{r}}{}_{\nu _{1} \cdots \nu _{s}}\\ &-\sum _{j=1}^{s} \Gamma _{\rho \nu _{i}}^{\lambda } T^{\mu _{1} \cdots \mu _{r}}{}_{\nu _{1} \cdots \lambda \cdots \nu _{s}}\end{aligned}$