物理よりな微分幾何③　共変外微分と曲率

　前回の共変微分に続いて、共変外微分を解説します。共変微分 $\overline{D}$ は、 $\Omega^0(E)=\Gamma(E)$ から、 $\Omega^1(E)=\Gamma(T^*M\otimes E)$ への微分写像として、定義されており、共変外微分は、それを自然に $\Omega^p(E)$ から $\Omega^{p+1}(E)$ への微分写像として拡張したものです。なので、記号は共変微分と同じ $\overline{D}$ を使います。

定義　共変外微分（covariant exterior derivative）
　 $p$ を自然数とする。共変外微分 $\overline{D}:\Omega^p(E)\to\Omega^{p+1}(E)$ はライプニッツ則

$\displaystyle \overline{D}( \xi \theta ) =\overline{D} \xi \land \theta +\xi d\theta ,\ \xi \in \Gamma ( E) ,\ \theta \in \Omega^{p}( M)$

を満たす。

　共変外微分は微分であるので、線形性を要請しますが、これは定義の $\overline{D}\xi$ が通常の共変微分で $d\theta$ が外微分であることから分かります。特に $p=0$ のとき、共変微分の定義と一致します。また、外微分の類似式として、 $\phi\in\Omega^p(E),\theta\in\Omega^q(M)$ に対し、 $\phi\wedge\theta\in\Omega^{p+q}(E)$ の外微分は

$\displaystyle \overline{D}( \phi \land \theta ) =\overline{D} \phi \land \theta +( -1)^{p} \phi \land d\theta$

と計算できます。
　外微分では $d^2=0$ と、二回合成で消える性質があったので、共変外微分ではこの性質がどのように引き継がれているかを見てみましょう。 $\xi\in\Gamma(E),\theta\in\Omega(M)$ に対して $\overline{D}^2$ を作用させると

$\displaystyle \begin{aligned} \overline{D}^{2}( \xi \theta ) &=\overline{D}(\overline{D} \xi \land \theta +\xi d\theta )\\ &=\overline{D}^{2} \xi \land \theta -\overline{D} \xi \land d\theta +\overline{D} \xi \land d\theta +\xi \land d^{2} \theta \\ &=\overline{D}^{2} \xi \land \theta \end{aligned}$

となるため、 $\Gamma(E)$ に対してのみ、 $\overline{D}^2$ の作用を考えればいいことが分かります。
　 $\overline{\sigma}=e\sigma\in\Gamma(E)$ を使って展開してみると

$\displaystyle \begin{aligned} \overline{D}^{2}\overline{\sigma } &=\overline{D}( e( d+A) \sigma ) =\overline{D} e\land ( d+A) \sigma +ed\{( d+A) \sigma \}\\ &=eA\land ( d+A) \sigma +edA\sigma -eA\land d\sigma \\ &=e( dA+A\land A) \sigma \end{aligned}$

となります。ここで注目すべきことは、最後の式に $\sigma$ の微分項を含んでいない、いう点です。つまり、 $\overline{D}^2$ は最早、微分演算子ではなく $A$ が行列値であったので、 $\overline{D}^2$ は行列値の２形式となります。行列の添え字を復活させると

$\displaystyle \overline{D}^{2}\left( e_{i} \sigma ^{i}\right) =e_{j}\left( dA^{j}{}_{i} +A^{j}{}_{k} \land A^{k}{}_{i}\right) \sigma ^{i}$

となります。この $\overline{F}:=\overline{D}^2\in\Omega^2(\operatorname{End}( E))$ を曲率といいます。ここで、 $\operatorname{End}( E)$ は $\operatorname{Hom}(E,E)=E\otimes E^*$ ともかかれ、切断 $\Gamma(\operatorname{End}( E))$ が $E_x$ から $E_x$ への線形写像、基底をあたえれば行列になるものです。
　曲率 $\overline{F}$ を基底をつかって展開すれば

$\displaystyle \overline{F}( e\sigma ) =eF\sigma =e_{i} F^{i}{}_{j} \sigma ^{j}$

とかけ、 $F=dA+A\wedge A$ がなりたつことが分かります。また、 $\xi\in\Gamma(E),\theta\in\Omega(M)$ に対し

$\displaystyle \overline{D}^{2}( \xi \theta ) =\overline{F} \xi \land \theta =\overline{F} \land \xi \theta$

を満たすので、 $\varphi\in\Omega^p(E)$ に対し $\overline{D}^{2}\varphi=\overline{F}\wedge\varphi$ がなりたちます。
　 $F,A$ を

$\displaystyle F=\frac{1}{2} F_{\mu \nu } dx^{\mu } \land dx^{\nu } , A=A_{\mu } dx^{\mu }$

と係数をおけば

$\displaystyle dA=\partial _{\mu } A_{\nu } dx^{\mu } \land dx^{\nu } =\frac{1}{2}( \partial _{\mu } A_{\nu } -\partial _{\nu } A_{\mu }) dx^{\mu } \land dx^{\nu }$

$\displaystyle A\land A=A_{\mu } A_{\nu } dx^{\mu } \land dx^{\nu } =\frac{1}{2}( A_{\mu } A_{\nu } -A_{\nu } A_{\mu }) dx^{\mu } \land dx^{\nu }$

より

$\displaystyle F_{\mu \nu } =\partial _{\mu } A_{\nu } -\partial _{\nu } A_{\mu } +[ A_{\mu } ,A_{\nu }] ,\ \ [ A_{\mu } ,A_{\nu }] =A_{\mu } A_{\nu } -A_{\nu } A_{\mu }$

が成り立ちます。また、 $D_\mu=\partial_\mu+A_\mu$ を用いて

$\displaystyle F_{\mu \nu } =[ D_{\mu } ,D_{\nu }$ ]

とかかれることもあります。接続の定義の際に、虚数 $i$ だけ違うので完全に一致はしませんが、ヤン・ミルズのゲージ理論での曲率を再現しています。さらに、 $F$ の $(i,j)$ 成分 ${F^i}_j$ を

$\displaystyle F^{i}{}_{j} =\frac{1}{2} F^{i}{}_{j\mu \nu } dx^{\mu } \land dx^{\nu }$

と展開した係数は $E=TM$ のとき、リーマンの曲率テンソルになります。

　続いて、曲率の共変外微分 $\overline{D}\overline{F}$ を考えてみましょう。 $\overline{\sigma}\in\Gamma(E)$ に対し、 $\overline{F}\overline{\sigma}\in\Omega^2(E)$ であり、 $\overline{D}\overline{F}$ は

$\displaystyle \overline{D}(\overline{F}\overline{\sigma }) =(\overline{D}\overline{F})\overline{\sigma } +\overline{F} \land \overline{D}\overline{\sigma }$

を満たすように定義されます。
　 $\overline{D}^3=\overline{D}^2\overline{D}=\overline{D}\overline{D}^2$ を使うと

$\displaystyle \overline{D}^{3}\overline{\sigma } =\overline{D}(\overline{F}\overline{\sigma }) =(\overline{D}\overline{F})\overline{\sigma } +\overline{F} \land \overline{D}\overline{\sigma }$

と

$\displaystyle \overline{D}^{3}\overline{\sigma } =\overline{D}^{2}(\overline{D}\overline{\sigma }) =\overline{F} \land \overline{D}\overline{\sigma }$

が成り立ちます。つまり、見比べると

$\displaystyle \overline{D}\overline{F} =0$

となります。これをビアンキの恒等式といいます。

　ビアンキ恒等式は $\overline{D}\overline{F} =0$ では、実計算には余りにも不向きなので、より有用な表示を考えています。 $\overline{\sigma}=e\sigma\in\Gamma(E)$ に対し $(\overline{D}\overline{F})(e\sigma)=e(DF)\sigma$ とかくと、 $DF=0$ であり、 $DF$ は

$\displaystyle \begin{aligned} \overline{D}(\overline{F}\overline{\sigma }) &=\overline{D}( eF\sigma ) =ed( F\sigma ) +eA\land F\sigma \\ &=e( dF+F\land d+A\land F) \sigma \end{aligned}$

と

$\displaystyle \overline{F} \land \overline{D}\overline{\sigma } =\overline{F} \land e( d+A) \sigma =e( F\land d+F\land A) \sigma$

から

$\displaystyle DF=dF+A\land F-F\land A=0$

とも表現できます。また

$\displaystyle DF=\frac{1}{2} D_{\rho } F_{\mu \nu } dx^{\rho } \land dx^{\mu } \land dx^{\nu }$

と展開すると

$\displaystyle A\land F-F\land A=\frac{1}{2}[ A_{\rho } ,F_{\mu \nu }] dx^{\rho } \land dx^{\mu } \land dx^{\nu }$

より

$\displaystyle D_{\rho } F_{\mu \nu } =\partial _{\rho } F_{\mu \nu } +[ A_{\rho } ,F_{\mu \nu }$ ]

ともかけます。ただし、ビアンキ恒等式は $D_{\rho } F_{\mu \nu }=0$ ではないことに注意が必要です。
　 $D_{\rho } F_{\mu \nu }$ は添え字の入れ換えに対し反対称ではないので、 $DF$ の係数が０になるように展開するには

$\displaystyle DF=\frac{1}{2\cdot 3!} D_{[ \rho } F_{\mu \nu ]} dx^{\rho } \land dx^{\mu } \land dx^{\nu }$

と展開する必要があります。ここで $D_{[ \rho } F_{\mu \nu ]}$ は

$\displaystyle D_{[ \rho } F_{\mu \nu ]} :=D_{\rho } F_{\mu \nu } +D_{\mu } F_{\nu \rho } +D_{\nu } F_{\rho \mu } -D_{\rho } F_{\nu \mu } -D_{\mu } F_{\rho \nu } -D_{\nu } F_{\rho \mu }$

と定義されます。このように定義したとき $DF=0$ は $D_{[ \rho } F_{\mu \nu ]}=0$ とかけます。また、 $F_{\mu\nu}$ は２形式 $F$ の係数であり、 $F_{\mu\nu}=-F_{\nu\mu}$ がなりたつので、成分についての正しいビアンキ恒等式は

$\displaystyle D_{\rho } F_{\mu \nu } +D_{\mu } F_{\nu \rho } +D_{\nu } F_{\rho \mu } =0$

となります。
　リーマンの曲率テンソルに対しては

$\displaystyle D_{\rho } R^{\sigma }{}_{\lambda \mu \nu } +D_{\mu } R^{\sigma }{}_{\lambda \nu \rho } +D_{\nu } R^{\sigma }{}_{\lambda \rho \mu } =0$

とかけますが、 $E=TM$ にはビアンキ恒等式と呼ばれる式がもう一つあり、それに対して今回導いた式はビアンキの第２恒等式と呼ばれます。
　また、 $\mathrm{U}(1)$ ゲージ理論では、マクスウェル方程式のうち二つがビアンキ恒等式として扱うことが出来ます。残りの２式は恒等的に成り立つ式ではなく、ラグラジアンが指定する運動方程式となっています。このシリーズの目標はゲージ理論なので、そのうち、この話はしていきたいと思っています。

　最後に、曲率の変換性について考えます。 $U$ から、 $U^\prime$ に座標変換したとき、基底が $e^\prime=es$ と変換されたとします。このとき