CとAの数物 Note

数学と物理のはざまに棲息。

様々な形の静電容量(正方形・無限梯子形）

電磁気学 静電容量

正方形に静電容量Cのコンデンサを接続したとき
f:id:C-and-A:20181213210958p:plain:w300
合成した静電容量をC'とする。これは二つのコンデンサを直列につないだものを更に並列につないだものとみなせるので

\displaystyle C'=\frac{1}{\frac{1}{C}+\frac{1}{C}}+\frac{1}{\frac{1}{C}+\frac{1}{C}}=C

となる。

無限梯子形に静電容量Cのコンデンサを接続したとき
f:id:C-and-A:20181213213228p:plain:w350

この合成した静電容量をC^{\infty}とする。
f:id:C-and-A:20181213214108p:plain:w300
更に、もう一段増やしたときの静電容量もC^{\infty}となって欲しいので、図から

\displaystyle C^{\infty}=C+\frac{1}{\frac{1}{C}+\frac{1}{C^{\infty}}+\frac{1}{C}}

整理すれば

2(C^{\infty})^2-2C^{\infty}C-C^2=0
\displaystyle C^{\infty}=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}C

C^{\infty}\gt 0より

\displaystyle C^{\infty}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}C

となる。