CとAの数物 Note

数学と物理のはざまに棲息。

様々な形の静電容量(直列・並列)

電磁気学静電容量

コンデンサの直列接続
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上図のように静電容量 $C_1$ と $C_2$ のコンデンサを直列接続し、その外側の極板に $\mp Q$ の電荷を与える。内側の極板にも $\pm Q$ の電荷が誘導されるので

$\displaystyle V_{AC}=V_{AB}+V_{BC}=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}$

となり、合成した静電容量を $C$ とすると

$\displaystyle V_{AC}=\frac{Q}{C}=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}$

つまり、直列接続では

$\displaystyle \frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$

が成り立つ。

コンデンサの並列接続
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上図のように静電容量 $C_1$ と $C_2$ のコンデンサを並列接続し、 $\pm Q_1$ と $\pm Q_2$ の電荷を与える。並列なので $V_{AB}=V_{CD}=V_{EF}$ であるので

$\displaystyle \frac{Q_1}{C_1}=\frac{Q_2}{C_2}$

となり、合成した静電容量を $C$ とすると

$\displaystyle V_{AB}=\frac{Q_1+Q_2}{C}=\frac{Q_1}{C_1}=\frac{Q_2}{C_2}$

つまり

$C=C_1+C_2$

が成り立つ。

一般化して
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直列のとき

$\displaystyle\frac{1}{C}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{C_i}}$

並列のとき

$\displaystyle C=\sum_{i=1}^{n}{C_i}$

がそれぞれ成り立つ。