Minkowski次元を導入する。相対性理論がかかわってくるがそこには深く踏み込まない。Minkowski次元とは時間と空間を4次元空間を表す方法の一つ。空間座標を とし、時間座標を とする。これを と表現し、4元ベクトルと呼ぶ。また、このように添え字が上に付く…

c-and-a.hatenablog.comこのページではMaxwell方程式の第二式、第三式を用いて、スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルをが成り立つとした。これを第一式に代入するとまた、第四式に代入すればここでとなるようにゲージを定める(これをLorenzゲージ条…

3次元においてはMaxwell方程式はと与えられる。ここまでの導出は諸々の本なりサイトに書かれているので割愛しよう。さて、この２の場(電場と磁場)の式を2つのポテンシャル(スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャル)で表される式にする。まずよりを満たす…

さて、楕円体導体がつくる等電位面は焦点を共有する楕円体であることはしめした。 c-and-a.hatenablog.comここで導体の表面がで表される楕円体導体に与えられた電荷をとする。このとき電位は上の証明をする際に用いた関数を用いてと表せた。 c-and-a.hatenab…

半軸がの楕円体導体をかんがえる。このとき、楕円体の表面はという方程式で表される。また、この楕円体と焦点を共有する楕円体群はを用いてと表される。 c-and-a.hatenablog.comこの曲面群が等電位面群であることを示す。とかけるのでここでとおけばとなる。…

等電位面が満たす条件を調べる。 を変数とする、曲面群が電荷の無い空間で等電位面群になる条件はがだけの関数になることである。証明 電荷の無い領域では電位はラプラス方程式を満たす。曲面群のなかの一つの曲面はを定めることにより定まり、等電位面では…

半径の導体球の静電容量を求める。導体球を電荷だけ帯電させた。まずこの球の周りの電場から求める。球の対称性より電場の向きはすべて中心を背に向けた方向であるので、半径の球面で面積分すると、ガウスの定理より である。導体球の電位はであるのでよって…

さて、これまで静電容量は二つの極板A,Bにの電荷を帯びさせたときの二つの極板の電位差をもちいてと定義されてきた。この定義では導体が二つないと定義できない。そこで、静電容量を導体固有の量とするために、極板間の電位差ではなく無限遠との電位差に書き…

真空中に面積がの二つの極板を間隔に平行におく。は極板に対して非常に小さいとする。 A,Bにそれぞれの電荷を与えたとすると、極板の内側の表面に一様に電荷は分配される。極板Aの電荷密度はで与えられる。 上図のように極板Aを拡大し、極板Aの内側の面を貫…

静電容量のコンデンサを立方体状に接続したとき 立体のままでは考えづらいので平面に接続の仕方を保ったまま変形する。 ここで、点C,D,Eに着目するとY接続になっていて、更に立方体の対称性からDとEは等電位であることがわかる。Δ接続に変換すると であるこ…

Δ接続とY接続の変換 上図の二つの接続をΔ接続とY接続と呼ぶ(通常はコンデンサではなく抵抗をつないだものをそう呼ぶ)。 Δ接続(Y接続)から、点A,B,C間それぞれの静電容量が変わらないようにY接続(Δ接続)に変換するときの両接続の関係を調べる。まず、AB間で静…

正方形に静電容量のコンデンサを接続したとき 合成した静電容量をとする。これは二つのコンデンサを直列につないだものを更に並列につないだものとみなせるのでとなる。無限梯子形に静電容量のコンデンサを接続したとき この合成した静電容量をとする。 更に…

コンデンサの直列接続 上図のように静電容量とのコンデンサを直列接続し、その外側の極板にの電荷を与える。内側の極板にもの電荷が誘導されるのでとなり、合成した静電容量をとするとつまり、直列接続ではが成り立つ。コンデンサの並列接続 上図のように静…