Maxwell方程式の高次元化(Lorenzゲージ)

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このページではMaxwell方程式

$\displaystyle \left\lbrace {\begin{matrix}\nabla \cdot \boldsymbol{E}& =& {{\rho }/{{\varepsilon }_{0}}}\\ \nabla \cdot \boldsymbol{B}& =& 0\\ \nabla \times \boldsymbol{E}+\frac {\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}& =& 0\\ \nabla \times \boldsymbol{B}+\frac {1}{{c}^{2}}\frac {\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}& =& {\mu }_{0}\boldsymbol{j}\end{matrix}}\right.$

の第二式、第三式を用いて、スカラーポテンシャル $\phi$ とベクトルポテンシャル $\boldsymbol{A}$ を

$\displaystyle \boldsymbol{B}=\nabla \times \boldsymbol{A},\quad\boldsymbol{E}+\frac {\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}=-\nabla \phi$

が成り立つとした。

これを第一式に代入すると

$\displaystyle \begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{E}&=\nabla \cdot \left({-\nabla \phi -\frac {\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}}\right) \\ &=-\mathrm{\Delta }\phi -\frac {\partial }{\partial t}\left({\nabla \cdot \boldsymbol{A}}\right)={{\rho }/{{\varepsilon }_{0}}}\end{align}$

また、第四式に代入すれば

$\displaystyle \begin{align} \nabla \times \boldsymbol{B}-\frac {1}{{c}^{2}}\frac {\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}&=\nabla \times \left({\nabla \times \boldsymbol{A}}\right)-\frac {1}{{c}^{2}}\frac {\partial }{\partial t}\left({-\nabla \phi -\frac {\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}}\right) \\ &=\nabla \left({\nabla \cdot \boldsymbol{A}}\right)-\mathrm{\Delta }\boldsymbol{A}+\frac {1}{{c}^{2}}\frac {\partial }{\partial t}\nabla \phi +\frac {1}{{c}^{2}}\frac {{\partial }^{2}\boldsymbol{A}}{\partial {t}^{2}} \\ &=\nabla \left({\nabla \cdot \boldsymbol{A}+\frac {1}{{c}^{2}}\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)+\frac {1}{{c}^{2}}\frac {{\partial }^{2}\boldsymbol{A}}{\partial {t}^{2}}-\mathrm{\Delta }\boldsymbol{A}={\mu }_{0}\boldsymbol{j}\end{align}$

ここで

$\displaystyle \nabla \cdot \boldsymbol{A}+\frac {1}{{c}^{2}}\frac {\partial \phi }{\partial t}=0$

となるようにゲージを定める(これをLorenzゲージ条件という)。ポテンシャルの不定性を捨てることにより、第一式は

$\displaystyle \begin{align} -\mathrm{\Delta }\phi -\frac {\partial }{\partial t}\left({\nabla \cdot \boldsymbol{A}}\right)&=-\mathrm{\Delta }\phi-\frac {\partial }{\partial t}\left({-\frac {1}{{c}^{2}}\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right) \\ &=\frac {1}{{c}^{2}}\frac {{\partial }^{2}\phi }{\partial {t}^{2}}-\mathrm{\Delta }\phi ={{\rho }/{{\varepsilon }_{0}}}\end{align}$

また、第四式は

$\displaystyle \begin{align} \nabla \left({\nabla \cdot \boldsymbol{A}+\frac {1}{{c}^{2}}\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)+\frac {1}{{c}^{2}}\frac {{\partial }^{2}\boldsymbol{A}}{\partial {t}^{2}}-\mathrm{\Delta }\boldsymbol{A} &=\frac {1}{{c}^{2}}\frac {{\partial }^{2}\boldsymbol{A}}{\partial {t}^{2}}-\mathrm{\Delta }\boldsymbol{A}={\mu }_{0}\boldsymbol{j}\end{align}$