CとAの数物 Note

数学と物理のはざまに棲息。

Maxwell方程式の高次元化(ゲージ変換)

電磁気学 Maxwell方程式

3次元においてはMaxwell方程式は

\displaystyle \left\lbrace {\begin{matrix}\nabla \cdot \boldsymbol{E}& =& {{\rho }/{{\varepsilon }_{0}}}\\ \nabla \cdot \boldsymbol{B}& =& 0\\ \nabla \times \boldsymbol{E}+\frac {\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}& =& 0\\ \nabla \times \boldsymbol{B}-\frac {1}{{c}^{2}}\frac {\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}& =& {\mu }_{0}\boldsymbol{j}\end{matrix}}\right.

と与えられる。ここまでの導出は諸々の本なりサイトに書かれているので割愛しよう。

さて、この２の場(電場と磁場)の式を2つのポテンシャル(スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャル)で表される式にする。

まず

\displaystyle \nabla \cdot \boldsymbol{B}=0

より

\displaystyle \boldsymbol{B}=\nabla \times \boldsymbol{A}

を満たすベクトルポテンシャル \boldsymbol{A} が存在する。

また

\displaystyle \nabla \times \boldsymbol{E}+\frac {\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}=0

にベクトルポテンシャルを代入して

\displaystyle \begin{align} \nabla \times \boldsymbol{E}+\frac {\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} &=\nabla \times \boldsymbol{E}+\frac {\partial }{\partial t}\nabla \times \boldsymbol{A} \\ &=\nabla \times \left({\boldsymbol{E}+\frac {\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}}\right)=0\end{align}

より

\displaystyle \boldsymbol{E}+\frac {\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}=-\nabla \phi

を満たすスカラーポテンシャル \phi が存在する。任意関数 \chi に対して

\displaystyle {\boldsymbol{A}}^{\boldsymbol{\prime }}=\boldsymbol{A}+\nabla χ,\quad{\phi }^{\prime }=\phi -\frac {\partial χ}{\partial t}

という変換をしても

\displaystyle \begin{align} {\boldsymbol{B}}^{\prime }&=\nabla \times {\boldsymbol{A}}^{\prime }=\nabla \times \left({\boldsymbol{A}+\nabla χ}\right) \\ &=\nabla \times \boldsymbol{A}+\nabla \times \left({\nabla χ}\right)=\nabla \times \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\end{align}

\displaystyle \begin{align} {\boldsymbol{E}}^{\prime }&=-\nabla {\phi }^{\prime }-\frac {\partial {\boldsymbol{A}}^{\boldsymbol{\prime }}}{\partial t}=-\nabla \left({\phi -\frac {\partial χ}{\partial t}}\right)-\frac {\partial }{\partial t}\left({\boldsymbol{A}+\nabla χ}\right) \\ &=-\nabla \phi -\frac {\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}=\boldsymbol{E}\end{align}

と磁場電場共に影響を受けないためMaxwell方程式も成立する。つまり二つのポテンシャルは任意関数 \chi の不定性がある。この変換のことをゲージ変換という。