CとAの数物 Note

数学と物理のはざまに棲息。

勝ち残りじゃんけんの回数３

数列

前回もとめた母関数をマクローリン展開して、係数を求め、E_nの一般項を求めることが出来た。
正直マクローリン展開云々のところは計算が大変だったので、ここに転記しない（気が向いたらそのうち書く）。

さて、こうなった。

\displaystyle \begin{align}{E}_{n}&={\sum _{m=0}^{n-2}{\frac {n!{3}^{m+1}}{\left({n-m-1}\right) !\left({m+2}\right) !\left({{2}^{m+2}-2}\right) }}} \\ &+{\sum _{s=1}^{n-2}{{\sum _{m=0}^{n-s-2}{{\sum _{t=1}^{s}{\frac {{\left({-1}\right) }^{t}n!{3}^{m+1}{2}^{s-1}{D}_{t,s-t}}{\left({n-m-s-1}\right) !\left({m+2}\right) !\left({s+t}\right) !\left({{2}^{t+s+1}-1}\right) }}}}}}}\end{align}
なおE_1=0とし、n=2のとき、２項目は0とする。また、D_{m,n}は
\displaystyle {D}_{m,n}={\sum _{{s}_{1}+\cdots +{s}_{m}=n}{\frac {\left({n+2m}\right) !}{\left({{s}_{1}+2}\right) !\cdots \left({{s}_{m}+2}\right) !}}}
である。各s_iは0以上の整数で、全ての組み合わせについて和をとる。
実際にプログラムを書いて、これを計算させると
\displaystyle\begin{array}{ccc}E_1&E_2&E_3&E_4&E_5&E_6&E_{10}&E_{20}\\ 0&1.5&2.25&3.214&4.486&6.220&24.35&1144\\ 0&{3}/{2}&{9}/{4}&{45}/{14}&{157}/{35}&{13497}/{2170} \end{array}
とこんな感じになった。もっと簡約できるかもや知れないが、どうだろう。