京大入試2019理系数学問３

2019年度の京大入試、理系数学問３の別解(他の解説サイトにはない方法)で解いてみる。赤本とも多分かぶっていないと思う（高校生でないので手元にない）。

問題
　鋭角三角形 $\mathrm{ABC}$ を考え、その面積を $S$ とする。 $0< t< 1$ を満たす実数 $t$ に対し、線分 $\mathrm{AC}$ を $t:1-t$ に内分する点を $\mathrm{Q}$ 、線分 $\mathrm{BQ}$ を $t:1-t$ に内分する点を $\mathrm{P}$ とする。実数 $t$ がこの範囲を動くときに点 $\mathrm{P}$ の描く曲線と、線分 $\mathrm{BC}$ によって囲まれる部分の面積を $S$ を用いて表せ。

　この問題の素直な解法は $x$ - $y$ 平面に三角形をおいて、 $\mathrm{P}$ の座標を求めて、それを積分するというもの。しかし、それは幾何の解き方ではない！幾何ならば座標の取り方に依らない計算すべし！恣意的に座標をセッティングして解くのは美しくない‼

　そこで、以下に私の美学に則った解法を示す。

解法
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点 $\mathrm{R}$ を線分 $\mathrm{AP}$ の延長と線分 $\mathrm{BC}$ の交点として定義する。点 $\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$ は動点であり、 $t$ によるということを明示するために、 $\mathrm{P}_t,\mathrm{Q}_t\mathrm{R}_t$ と書く。

メラネウスの定理
$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}_{t}}{\mathrm{R}_{t}\mathrm{C}} \cdot \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{AQ}_{t}} \cdot \frac{\mathrm{Q}_{t}\mathrm{P}_{t}}{\mathrm{P}_{t}\mathrm{B}} =1$
$\displaystyle \frac{\mathrm{AP}_{t}}{\mathrm{P}_{t}\mathrm{R}_{t}} \cdot \frac{\mathrm{R}_{t}\mathrm{B}}{\mathrm{BC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}_{t}}{\mathrm{Q}_{t}\mathrm{A}} =1$
より
$\displaystyle\frac{\mathrm{BR}_{t}}{\mathrm{R}_{t}\mathrm{C}} =\frac{t^{2}}{1-t}$
$\displaystyle\frac{\mathrm{AP}_{t}}{\mathrm{P}_{t}\mathrm{R}_{t}} =\frac{t^{2} -t+1}{-t^{2} +t}$

$t$ を離散化することを考える。
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$\Delta_N t=1/N, t_j = j\Delta_N t$ として、 $\mathrm{P}_j=\mathrm{P}_{t_j},\mathrm{R}_j=\mathrm{R}_{t_j}$ 、点 $\mathrm{P}_j,\mathrm{P}_{j+1},\mathrm{R}_{j+1},\mathrm{R}_j$ に囲まれる面積を $\Delta \bar{S}_N(t_j)$ と書く。とすれば、求めたい面積 $\bar{S}$ は
$\displaystyle \overline{S} =\lim _{N\rightarrow \infty }\sum ^{N-1}_{j=0} \Delta \overline{S}_{N}( t_{j}) =\lim _{N\rightarrow \infty }\sum ^{N-1}_{j=0}\overline{S}( t_{j}) \Delta_N t=\int ^{1}_{0}\overline{S}( t) dt$
となる。ここで、
$\displaystyle \overline{S}( t) =\lim _{N\rightarrow \infty}\frac{\Delta \overline{S}_{N}( t)}{\Delta_N t}$
である。

$\vartriangle\!\!\mathrm{ABC}$ で三角形 $\mathrm{ABC}$ が囲む面積を表すものとする。

$\displaystyle \mathrm{BC:BR}_{j} =\left( 1+\frac{t^{2}_{j}}{1-t_{j}}\right) :\frac{t^{2}_{j}}{1-t_{j}} =1:\frac{t^{2}_{j}}{t^{2}_{j} -t_{j} +1}$
より
$\displaystyle\begin{align}S:\vartriangle\!\!\mathrm{AR}_{j}\mathrm{R}_{j+1} & =\mathrm{BC} :\mathrm{R}_{j}\mathrm{R}_{j+1} \\ & =1:\left(\frac{t^{2}_{j+1}}{t^{2}_{j+1} -t_{j+1} +1} -\frac{t^{2}_{j}}{t^{2}_{j} -t_{j} +1}\right) \\ & =1:\left(\frac{( t_{j} +\Delta_N t)^{2}}{( t_{j} +\Delta_N t)^{2} -( t_{j} +\Delta_N t) +1} -\frac{t^{2}_{j}}{t^{2}_{j} -t_{j} +1}\right) \\ & =1:\left(\frac{d}{dt_{j}}\left(\frac{t^{2}_{j}}{t^{2}_{j} -t_{j} +1}\right) \Delta_N t+O\left( (\Delta _{N} t)^{2}\right)\right)\end{align}$
であるので、
$\displaystyle \vartriangle\!\!\mathrm{AR}_{j}\mathrm{R}_{j+1} =\frac{-t^{2}_{j} +2t_{j}}{\left( t^{2}_{j} -t_{j} +1\right)^{2}} S\Delta _{N} t+O\left( (\Delta _{N} t)^{2}\right)$
となる。また
$\displaystyle \mathrm{AR}_{j} :\mathrm{AP}_{j} =\left(\frac{t^{2}_{j} -t_{j} +1}{-t^{2}_{j} +t_{j}} +1\right) :\frac{t^{2}_{j} -t_{j} +1}{-t^{2}_{j} +t_{j}} =1:\left( t^{2}_{j} -t_{j} +1\right)$
であるので、
$\displaystyle\begin{align} \vartriangle\!\!\mathrm{AR}_{j}\mathrm{R}_{j+1} :\vartriangle\!\!\mathrm{AP}_{j}\mathrm{P}_{j+1} &=\mathrm{AR}_{j} \cdot \mathrm{AR}_{j+1} :\mathrm{AP}_{j} \cdot \mathrm{AP}_{j+1}\\ & =1:\left( t^{2}_{j} -t_{j} +1\right)\left( t^{2}_{j+1} -t_{j+1} +1\right)\\ & =1:\left(\left( t^{2}_{j} -t_{j} +1\right)^{2} +O( \Delta_N t)\right)\end{align}$
より
$\displaystyle\begin{align} \Delta \overline{S}_{N}( t_{j}) &=\vartriangle\!\!\mathrm{AR}_{j}\mathrm{R}_{j+1} -\vartriangle\!\!\mathrm{AP}_{j}\mathrm{P}_{j+1}\\ &=\frac{-t^{2}_{j} +2t_{j}}{\left( t^{2}_{j} -t_{j} +1\right)^{2}}\left( 1-\left( t^{2}_{j} -t_{j} +1\right)^{2}\right) S\Delta _{N} t+O\left(( \Delta _{N} t)^{2}\right)\\ &=\left(\frac{-t^{2}_{j} +2t_{j}}{\left( t^{2}_{j} -t_{j} +1\right)^{2}} +t^{2}_{j} -2t_{j}\right) S\Delta _{N} t+O\left(( \Delta _{N} t)^{2}\right)\end{align}$
$\Delta_N t$ の高次の項は $N\to\infty$ の極限で消えるので
$\displaystyle \overline{S}( t) =\left(\frac{-t^{2} +2t}{\left( t^{2} -t+1\right)^{2}} +t^{2} -2t\right) S=\frac{d}{dt}\left(\frac{t^{2}}{t^{2} -t+1} +\frac{1}{3} t^{3} -t^{2}\right) S$
よって求める面積は
$\displaystyle \overline{S} =\int ^{1}_{0}\overline{S}( t) dt=\left[\frac{t^{2}}{t^{2} -t+1} +\frac{1}{3} t^{3} -t^{2}\right]^{1}_{t=0} S=\frac{1}{3} S$
と求まる。