Bianchi恒等式の証明 - CとAの数物 Note

細かいところは省くので悪しからず。 $D^3=D\circ D^2=D^2\circ D$ 以外の証明。

ベクトル束 $p:E\to M$ 上の共変外微分
$\displaystyle D:A^p(E)\to A^{p+1}(E)$
とその曲率
$\displaystyle R=D^2\in A^2(\operatorname{End} E)$
に対し，Bianchi 恒等式
$\displaystyle DR=0$
が成り立つ。注意すべきは Bianchi 恒等式の $D$ は $D:A^p(\operatorname{End} E)\to A^{p+1} (\operatorname{End} E)$ であること。これを忘れると私みたいにどつぼにはまる。

証明
$E$ の局所標構場を $(e_1,\dots,e_r)$ 、その双対ベクトル束 $E^*$ の局所標構場を $(f_1,\dots,f_r)$ とする。接続形式 $\omega=({\omega ^{i}}_{j})$ を用いて、曲率は
$\displaystyle Re_{j} ={\Omega ^{i}}_{j} e_{i} ,\ {\Omega ^{i}}_{j} =d{\omega ^{i}}_{j} +{\omega ^{i}}_{k} \land {\omega ^{k}}_{j}$
とかける。よって、 $R\in A^2(\operatorname{End} E)\cong A^2(E\otimes E^*)$ であるので
$\displaystyle R={\Omega ^{i}}_{j} e_{i} \otimes f^{j}$
共変外微分をかけると、 ${\Omega ^{i}}_{j}\in A^2(M)$ であるので
$\displaystyle D\left( {\Omega ^{i}}_{j} e_{i} \otimes f^{j}\right) =d{\Omega ^{i}}_{j} e_{i} \otimes f^{j} +( -1)^{2} {\Omega ^{i}}_{j} \land \nabla\left( e_{i} \otimes f^{j}\right)$
ここで、 $\nabla :A^{0}\left(\operatorname{End} E\right)\rightarrow A^{1}\left(\operatorname{End} E\right)$ は Leibniz rule
$\displaystyle \nabla ( \phi \cdot s) =\nabla \phi \cdot s+\phi \cdot \nabla s,\ \ \phi \in A^{0}\left(\operatorname{End} E\right) ,\ s\in A^{0}( E)$
を満たすように定義されるので、
$\displaystyle \nabla \left( e_{i} \otimes f^{j} \cdot e_{k}\right) =\nabla \left( \delta ^{j}_{k} e_{i}\right) =\delta ^{j}_{k} \nabla e_{i} =\delta ^{j}_{k} {\omega ^{\ell }}_{i} e_{\ell }$
また
$\displaystyle \begin{align}\nabla \left( e_{i} \otimes f^{j} \cdot e_{k}\right) & =\nabla \left( e_{i} \otimes f^{j}\right) \cdot e_{k} +e_{i} \otimes f^{j} \cdot \nabla e_{k}\\ & =\nabla \left( e_{i} \otimes f^{j}\right) \cdot e_{k} +e_{i} \otimes f^{j} \cdot {\omega ^{\ell} }_{k} e_{\ell }\\ & =\nabla \left( e_{i} \otimes f^{j}\right) \cdot e_{k} +\delta ^{j}_{\ell } {\omega ^{\ell }}_{k} e_{i} =\nabla \left( e_{i} \otimes f^{j}\right) \cdot e_{k} +{\omega ^{j}}_{k} e_{i}\end{align}$
この２式を見比べれば
$\displaystyle \nabla \left( e_{i} \otimes f^{j}\right) ={\omega ^{k}}_{i} e_{k} \otimes f^{j} -{\omega ^{j}}_{k} e_{i} \otimes f^{k}$
を得る。よって
$\displaystyle \begin{align} DR&=d\left( d{\omega ^{i}}_{j} +{\omega ^{i}}_{k} \land {\omega ^{k}}_{j}\right) e_{i} \otimes f^{j}\\ &\quad +\left( d{\omega ^{i}}_{\ell } +{\omega ^{i}}_{k} \land {\omega ^{k}}_{\ell }\right) \land \left( {\omega ^{t}}_{i} e_{t} \otimes f^{\ell } -{\omega ^{\ell }}_{t} e_{i} \otimes f^{t}\right)\\ &=d^{2} {\omega ^{i}}_{j} e_{i} \otimes f^{j} +d{\omega ^{i}}_{k} \land {\omega ^{k}}_{j} e_{i} \otimes f^{j} +( -1)^{1} {\omega ^{i}}_{k} \land d{\omega ^{k}}_{j} e_{i} \otimes f^{j} \\ &\quad+d{\omega ^{i}}_{\ell } \land {\omega ^{t}}_{i} e_{t} \otimes f^{\ell }+{\omega ^{i}}_{k} \land {\omega ^{k}}_{\ell } \land {\omega ^{t}}_{i} e_{t} \otimes f^{\ell } \\ &\quad-d{\omega ^{i}}_{\ell } \land {\omega ^{\ell }}_{t} e_{i} \otimes f^{t} -{\omega ^{i}}_{k} \land {\omega ^{k}}_{\ell } \land {\omega ^{\ell }}_{t} e_{i} \otimes f^{t}\\ &=d{\omega ^{i}}_{k} \land {\omega ^{k}}_{j} e_{i} \otimes f^{j} -{\omega ^{i}}_{k} \land d{\omega ^{k}}_{j} e_{i} \otimes f^{j} +d{\omega ^{k}}_{j} \land {\omega ^{i}}_{k} e_{i} \otimes f^{j}\\ &\quad+{\omega ^{i}}_{k} \land {\omega ^{k}}_{\ell } \land {\omega ^{t}}_{i} e_{t} \otimes f^{\ell } -d{\omega ^{i}}_{k} \land {\omega ^{k}}_{j} e_{i} \otimes f^{j} -{\omega ^{t}}_{i} \land {\omega ^{i}}_{k} \land {\omega ^{k}}_{\ell } e_{t} \otimes f^{\ell }\\ &=-{\omega ^{i}}_{k} \land d{\omega ^{k}}_{j} e_{i} \otimes f^{j} +( -1)^{2\cdot 1} {\omega ^{i}}_{k} \land d{\omega ^{k}}_{j} e_{i} \otimes f^{j}\\ &\quad+{\omega ^{i}}_{k} \land {\omega ^{k}}_{\ell } \land {\omega ^{t}}_{i} e_{t} \otimes f^{\ell } -( -1)^{1\cdot 1}( -1)^{1\cdot 1} {{\omega} ^{i}}_{k} \land {\omega ^{k}}_{\ell } \land {\omega ^{t}}_{i} e_{t} \otimes f^{\ell }\\ &=0\end{align}$
となり、確かに成り立つ。