ｎ次元ランダムウォークの再帰確率

１次元ランダムウォーク同様、時刻 $t\geq 0$ に位置 $\boldsymbol{m}=(m_1,m_2,\dotso,m_n)$ に動点がある確率を $p_{t,\boldsymbol{m}}$ で表す。また、第 $k$ 軸正方向に $1$ 動かすベクトルを $\boldsymbol{e}_k={(0,0,\cdots,0,\underset{k番目}{1},0,0,\cdots,0)}$ とおけば、漸化式は

$\displaystyle p_{t+1,\boldsymbol{m}}=\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}{(p_{t,\boldsymbol{m}+\boldsymbol{e}_k}+p_{t,\boldsymbol{m}-\boldsymbol{e}_k})}$

となる。
また条件は

$\displaystyle p_{0,\boldsymbol{m}}=\left\{\begin{array}{}0 & \boldsymbol{m} \neq \boldsymbol{0}\\ 1 & \boldsymbol{m} = \boldsymbol{0}\end{array}\right.$

かつ $p_{t,\boldsymbol{m}}$ は実数とする。

まず、条件を無視して漸化式の一般解を求めよう。(1次元ランダムウォークの方法をなぞる)

$\displaystyle p_{t,\boldsymbol{m}}=u^t\prod_{i=1}^{n}{v_i^{m_i}}$

とおき、漸化式に代入することで $u$ と $v_i (i=1,2,...,n)$ の関係

$\displaystyle u=\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}{\left(v_k+\frac{1}{v_k}\right)}$

を得ので、 $u$ は $v_1,v_2,...,v_n$ の関数である。 $v_k (k=1,2,...,n)$ は任意の複素数で考えることが出来て、 $v_k=r_k e^{i\theta_k}(r_k\geq 0,0\leq \theta_k \lt 2\pi)$ と置換すれば
$u=u(r_1 e^{i\theta_1},r_2 e^{i\theta_2},\cdots,r_n e^{i\theta_n})$ と書けるので、一般解は関数
$f=f(r_1 e^{i\theta_1},r_2 e^{i\theta_2},\cdots,r_n e^{i\theta_n})$ を用いて

$\displaystyle \begin{align}p_{t,\boldsymbol{m}}&=\int_0^{2\pi}{\cdots\int_0^{2\pi}{\int_0^{\infty}{\cdots\int_0^{\infty}{fu^t\prod_{k=1}^{n}{v_k^{m_k}r_kdr_kd\theta_k}}}}}\\ &=\int_0^{2\pi}{\cdots\int_0^{2\pi}{\int_0^{\infty}{\cdots\int_0^{\infty}{fu^t\prod_{k=1}^{n}{r_k^{m_k+1}e^{i m_k\theta_k}dr_kd\theta_k}}}}}\end{align}$