１次元ランダムウォークの再帰確率(３)

１次元ランダムウォークの再帰確率(２)の続き
c-and-a.hatenablog.com

再帰確率とは、ランダムウォークを無限(つまりかなり長い間)に続けたとき、動点が原点に少なくとも一回戻っている確率である。

まず、時刻 $t$ に初めて原点に戻った確率を $f_t$ 、時刻 $t$ に(初めてでなくとも)原点に戻った確率を $u_t$ とする。但し $u_0=1$ とする。このとき $f_t$ と $u_t$ の間に

$\displaystyle u_t=\sum_{k=1}^{t}{f_k u_{t-k}}$

という関係が成り立つ。ここで母関数

$\displaystyle F(s)=\sum_{t=1}^{\infty}{f_t s^t},\quad U(s)=\sum_{t=0}^{\infty}{u_t s^t}$

の関係を考える。

$\displaystyle\begin{align}U(s)&=\sum_{t=0}^{\infty}{u_t s^t} \\&=1+\sum_{t=1}^{\infty}{\sum_{k=1}^{t}{f_k u_{t-k}} s^t} \\&=1+\sum_{k=1}^{\infty}{\sum_{t=k}^{\infty}{f_k u_{t-k}} s^t} \\&=1+\sum_{k=1}^{\infty}{f_k s^k\sum_{t=k}^{\infty}{u_{t-k}}s^{t-k}} \\&=1+F(s)U(s) \end{align}$

ここで、再帰確率は $f_1+f_2+\cdots+f_t+\cdots$ であり、これは $F(1)$ に等しいので、再帰確率は

$\displaystyle F(1)=1-\frac{1}{U(1)}$

で与えられる。１次元ランダムウォークの場合 $u_t=p_{t,0}$ であるので $U(1)$ は

$\begin{align}U(1)&=\sum_{t=0}^\infty{p_{t,0}} \\&=\sum_{t=0}^\infty{\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{\cos^t{\theta}d\theta}} \\&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{\sum_{t=0}^\infty{\cos^t\theta d\theta}} \\&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{\frac{d\theta}{1-\cos\theta}} \\&=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}{\frac{d\theta}{2\sin^2\frac{\theta}{2}}} \\&=\frac{1}{\pi}\left[\tan^2\frac{\theta}{2}\right]_{\theta=0}^{\pi}\to\infty\end{align}$