1次元ランダムウォークの再帰確率

　これまで書いてきた、漸化式のお話はこの記事のアバンにするつもりだったのだが、つい、 $n$ 項間での一般解が求まってしまい、厖大な量になってしまった。

　1次元ランダムウォークとは
「時刻 $t=0$ で原点 $m=0$ にある点が時刻が $1$ 増える度に、右( $m$ の正方向)または左( $m$ の負方向)のいずれかに確率 $1/2$ で $1$ 移動するというイベント」
である。

　数式化すると、時刻 $t$ に $m$ にいる確率を $p_{t,m}$ とかくと

$\displaystyle p_{t+1,m}=\frac{1}{2}p_{t,m-1}+\frac{1}{2}p_{t,m+1}\tag{1}$

が成り立つ。また、 $t=0$ で原点にいることから

$\displaystyle p_{0,m}=\left\{\begin{array}{}1&m=0\\0&otherwise\end{array}\right.$

が条件となる。まずはこの条件を無視して、(1)の一般解を求めよう。 $p_{t,m}=u^tv^m$ の形の解をみると

$\displaystyle u^{t+1}v^m=\frac{1}{2}u^tv^{m-1}+\frac{1}{2}u^tv^{m+1}$

よって、 $u^tv^m$ で両辺を割れば

$\displaystyle u=\frac{1}{2}v^{-1}+\frac{1}{2}v\tag{2}$

の関係があることがわかる。つまり、 $u$ は $v$ の関数として $u=u(v)$ とかける。

また、隣接 $n$ 項間漸化式での類推から、 $p_{t,m}=u^tv^m$ 以外の基底はないと予想できる(証明は未完)。また、 $(u_1,v_1),(u_2,v_2)$ が(2)の関係を満たすとすると、 ${u_1}^t{v_1}^m$ と ${u_2}^t{v_2}^m$ は基底となるので

$\alpha_1 {u_1}^t{v_1}^m+\alpha_2 {u_2}^t{v_2}^m$

も(1)を満たす。更に、 $v$ を任意の複素数としても(2)を満たす $u$ は存在するので、基底は無限にあることになる。つまり、一般解は全ての基底の線形和であり、基底が無限のときは積分を考えるので、 $u(v)^tv^m$ にかけられる定数を $f(v)$ で表すと

$\displaystyle p_{t,m}=\int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(x+yi)u(x+yi)^t(x+yi)^m dxdy}}$

となり、 $x+yi=re^{i\theta}$ と変換すると $dxdy=rdrd\theta$ であるので

$\displaystyle p_{t,m}=\int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{\infty}{f(re^{i\theta})u(re^{i\theta})^t(re^{i\theta})^m rdrd\theta}}$

と表せる。

CとAの数物 Note