１次元ランダムウォークの再帰確率(２)

１次元ランダムウォークの再帰確率(１)の続き
c-and-a.hatenablog.com

一般解は求まったので、次は

$\displaystyle p_{0,m}=\left\{\begin{array}{}1&m=0\\0&otherwise\end{array}\right.$

の条件を付けよう。

　この条件はクロネッカーのデルタを用いれば $p_{0,m}=\delta_{0m}$ とかける。前のページで求めた、一般解に代入すれば

$\displaystyle \delta_{0m}=\int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{\infty}{f(re^{i\theta})r^{m+1}e^{im\theta} drd\theta}}$

となり、また

$\displaystyle g_m(\theta)=\int_{0}^{\infty}{f(re^{i\theta})r^{m+1}dr}$

とおけば

$\displaystyle \delta_{0m}=\int_{0}^{2\pi}{g_m(\theta)e^{im\theta} d\theta}$

ここで

$\displaystyle \int_{0}^{2\pi}{e^{im\theta} d\theta}=2\pi \delta_{0m}$

であるので、 $g_m(\theta)=\frac{1}{2\pi}$ と分かる。 $g(\theta)$ は $\theta$ に依らないので、 $f(re^{i\theta})$ も $\theta$ に依らず $f(re^{i\theta})=\bar{f}(r)$ とかける。よって任意の $m$ で

$\displaystyle \frac{1}{2\pi}=\int_{0}^{\infty}{\bar{f}(r)r^{m+1}dr}$

が成り立って欲しいので、ディラックのデルタ関数を用いて

$\displaystyle\bar{f}(r)=\frac{1}{2\pi}\delta(r-1)$

と表せる。よって $p_{t,m}$ は

$\displaystyle \begin{align}p_{t,m}&=\int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{2\pi}\delta(r-1)u(re^{i\theta})^t(re^{i\theta})^m rdrd\theta}}\\&=\int_{0}^{2\pi}{\frac{1}{2\pi}u(e^{i\theta})^te^{im\theta} d\theta}\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{\left(\frac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta})\right)^te^{im\theta} d\theta}\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{\cos^t\theta e^{im\theta} d\theta}\end{align}$