CとAの数物 Note

数学と物理のはざまに棲息。

ｎ次元ランダムウォークの再帰確率(2)

ランダムウォーク 一般化 数列

ｎ次元ランダムウォークの再帰確率の続き
c-and-a.hatenablog.com

つづいて、条件を満たす数列を求めるためにfを決定するのだがほぼ1次元ランダムウォークの再帰確率(2)で行った通りなので、結果だけ示すとする。
c-and-a.hatenablog.com

結果求める数列は

\displaystyle p_{t,\boldsymbol{m}}=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_0^{2\pi}{\cdots\int_0^{2\pi}{\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n{\cos \theta_k}\right)^t\cos{\left(\sum_{k=1}^n{m_k\theta_k}\right)d^n\theta}}}

となる。ここでd^n\theta=d\theta_1d\theta_2\cdots d\theta_nを表すとする。

再帰確率も1次元ランダムウォークの再帰確率(3)で求めた方法を用いる。
c-and-a.hatenablog.com


t秒後に原点に戻ってくる確率u_tはp_{t,\boldsymbol{0}}に等しく

\displaystyle u_t=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_0^{2\pi}{\cdots\int_0^{2\pi}{\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n{\cos \theta_k}\right)^td^n\theta}}

となり

\displaystyle\begin{align}U(1)&=\sum_{t=0}^\infty{u_t}\\ &=\sum_{t=0}^\infty{\frac{1}{(2\pi)^n}\int_0^{2\pi}{\cdots\int_0^{2\pi}{\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n{\cos \theta_k}\right)^td^n\theta}}}\\ &=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_0^{2\pi}{\cdots\int_0^{2\pi}{\sum_{t=0}^\infty{\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n{\cos \theta_k}\right)^t}d^n\theta}}\\ &=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_0^{2\pi}{\cdots\int_0^{2\pi}{\left(1-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n{\cos \theta_k}\right)^{-1}d^n\theta}}\\ &=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_0^{2\pi}{\cdots\int_0^{2\pi}{\frac{nd^n\theta}{n-\sum_{k=1}^n{\cos \theta_k}}}}\\ &=\frac{1}{\pi^n}\int_0^{\pi}{\cdots\int_0^{\pi}{\frac{nd^n\theta}{n-\sum_{k=1}^n{\cos \theta_k}}}}\end{align}

再帰確率F(1)は

\displaystyle F(1)=1-\frac{1}{U(1)}

で求まる。

実際mathematicaに計算させると(解析的に積分する方法が分からない)

\displaystyle\begin{array}{ccc}次元&U(1)&F(1)\\ 1&\infty&1\\ 2&\infty&1\\ 3&1.51639...&0.340537...\\ 4&1.23947...&0.193202...\\ 5&1.15631...&0.135178...\end{array}

となり、3次元以上のランダムウォークは原点に再帰する確率は１でないことが分かる。

追記　n=3のときU(1)を求める積分はWatson's triple integralsを用いると計算でき

\displaystyle \begin{align}U(1)&=\frac{\sqrt{6}}{32\pi^3}\Gamma \left(\frac{1}{24}\right)\Gamma \left(\frac{5}{24}\right)\Gamma \left(\frac{7}{24}\right)\Gamma \left(\frac{11}{24}\right)\\ &=1.51613...\end{align}

となるらしい。
Watson's Triple Integrals -- from Wolfram MathWorld