CとAの数物 Note

数学と物理のはざまに棲息。

様々な形の静電容量(立方体)

電磁気学静電容量

静電容量 $C$ のコンデンサを立方体状に接続したとき
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立体のままでは考えづらいので平面に接続の仕方を保ったまま変形する。
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ここで、点C,D,Eに着目するとY接続になっていて、更に立方体の対称性からDとEは等電位であることがわかる。Δ接続に変換すると
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$Y_1=C^2/3$ であることから、 $C_1=C_2=C_3=Y_1/C=C/3$ とわかる。またDとEは等電位であるのでDからEには電流が流れない、つまり $C_3$ については考慮しなくていい。それを踏まえて、C,D,Eの上と下のY接続も変換すると
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ここで、点F,G,Hに着目するとY接続になっていて、更にFとGは等電位である。Δ接続に変換すると
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$Y_2=C^2/15$ であることから $C_4=C_5=Y_2/(C/3)=C/5, C_6=Y_2/C=C/15$ とわかる。またFとGは等電位であるのでFからGには電流が流れない、つまり $C_6$ については考慮しなくていい。それを踏まえて、F,G,Hの上と下のY接続も変換すると
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となる。結局、静電容量 $C/5$ のコンデンサを6つ並列につないだものと等しいので、合成した静電容量 $C'$ は

$\displaystyle C'=\frac{6}{5}C$

となる。因みにこの値はA,Bに $\mp Q$ の電荷をおいたときのAB間の電位差から求めるともっと簡単に出せる。