CとAの数物 Note

数学と物理のはざまに棲息。

様々な形の静電容量(平行板コンデンサ)

電磁気学静電容量

真空中に面積が $S$ の二つの極板を間隔 $d$ に平行におく。 $d$ は極板に対して非常に小さいとする。
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A,Bにそれぞれ $\pm Q$ の電荷を与えたとすると、極板の内側の表面に一様に電荷は分配される。極板Aの電荷密度 $\sigma$ は

$\displaystyle\sigma=\frac QS$

で与えられる。
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上図のように極板Aを拡大し、極板Aの内側の面を貫く底面積 $\Delta S$ の柱 $T$ で電場 $E$ を面積分する。極板は導体であり、極板内部では $E=0$ 。また $\sigma$ は一様なので、電場は極板と直交する。よって面積分は極板外部の底面のみになるので

$\displaystyle\int_T{EdS}=E\Delta S$

また、これはガウスの法則により柱内部の総電荷量 $\sigma \Delta S$ を $\varepsilon_0$ で割ったものに等しいので

$\displaystyle E\Delta S=\frac{\sigma \Delta S}{\varepsilon_0}$

よって

$\displaystyle E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}=\frac{Q}{\varepsilon_0 S}$

となる。また $E$ の向きは極板Aから極板Bに向かう向きである。よって極板間の電位差 $V$ は

$\displaystyle\begin{align}V&=\int_0^d{|-E|dx}\\ &=\frac{Qd}{\varepsilon_0 S}\end{align}$

よって静電容量 $C$ は

$\displaystyle C=\frac{Q}{V}=\varepsilon_0\frac{S}{d}$

となる。