楕円体導体がつくる等電位面

半軸が $a,b,c (a\geq b\geq c\geq 0)$ の楕円体導体をかんがえる。このとき、楕円体の表面は

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0$

という方程式で表される。また、この楕円体と焦点を共有する楕円体群は $\lambda$ を用いて

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2+\lambda}+\frac{y^2}{b^2+\lambda}+\frac{z^2}{c^2+\lambda}-1=0\quad(\lambda \gt -c^2)$

この曲面群が等電位面群であることを示す。

$\displaystyle x^2=(a^2+\lambda)\left(1-\frac{y^2}{b^2+\lambda}-\frac{z^2}{c^2+\lambda}\right)$

とかけるので

$\displaystyle\begin{align} 2x\frac{\partial x}{\partial \lambda}&=\left(1-\frac{y^2}{b^2+\lambda}-\frac{z^2}{c^2+\lambda}\right)+(a^2+\lambda)\left\{\frac{y^2}{(b^2+\lambda)^2}+\frac{z^2}{(c^2+\lambda)^2}\right\}\\ &=\frac{x^2}{a^2+\lambda}+(a^2+\lambda)\left\{\frac{y^2}{(b^2+\lambda)^2}+\frac{z^2}{(c^2+\lambda)^2}\right\}\\ &=(a^2+\lambda)\left\{\frac{x^2}{(a^2+\lambda)^2}+\frac{y^2}{(b^2+\lambda)^2}+\frac{z^2}{(c^2+\lambda)^2}\right\}\end{align}$

ここで

$\displaystyle H=\frac{x^2}{(a^2+\lambda)^2}+\frac{y^2}{(b^2+\lambda)^2}+\frac{z^2}{(c^2+\lambda)^2}$

とおけば

$\displaystyle \frac{\partial \lambda}{\partial x}=\frac{2x}{(a^2+\lambda)H}\tag{1}$

となる。2階の偏微分は

$\displaystyle\frac{\partial^2 \lambda}{\partial x^2}=\frac{2}{(a^2+\lambda)H}-\frac{2x}{(a^2+\lambda)H^2}\frac{\partial H}{\partial x}-\frac{2x}{(a^2+\lambda)^2H}\frac{\partial \lambda}{\partial x}$

$H$ の偏微分について

$\displaystyle \begin{align}\frac{\partial H}{\partial x}&=\frac{2x}{(a^2+\lambda)^2}+\frac{\partial H}{\partial \lambda}\frac{\partial \lambda}{\partial x}\\ &=\frac{2x}{(a^2+\lambda)^2}+\frac{2x}{(a^2+\lambda)H}\left\{-2\frac{x^2}{(a^2+\lambda)^3}-2\frac{y^2}{(b^2+\lambda)^3}-2\frac{z^2}{(c^2+\lambda)^3}\right\}\end{align}$

となるので

$\displaystyle　K=\frac{x^2}{(a^2+\lambda)^3}+\frac{y^2}{(b^2+\lambda)^3}+\frac{z^2}{(c^2+\lambda)^3}$

とおけば

$\displaystyle\begin{align}\frac{\partial^2 \lambda}{\partial x^2}&=\frac{2}{(a^2+\lambda)H}-\frac{2x}{(a^2+\lambda)H^2}\left\{\frac{2x}{(a^2+\lambda)^2}-\frac{4Kx}{(a^2+\lambda)H}\right\}\\&\quad-\frac{2x}{(a^2+\lambda)^2H}\frac{2x}{(a^2+\lambda)H}\\ &=\frac{2}{(a^2+\lambda)H}+\frac{8x^2K}{(a^2+\lambda)^2H^3}-\frac{8x^2}{(a^2+\lambda)^3H^2}\tag{2}\end{align}$

を得る。(1)から

$\displaystyle \begin{align} \left(\frac{\partial \lambda}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial \lambda}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial \lambda}{\partial z}\right)^2 &=\frac{4x^2}{(a^2+\lambda)^2H^2}+\frac{4y^2}{(b^2+\lambda)^2H^2}+\frac{4z^2}{(c^2+\lambda)^2H^2}\\ &=\frac{4}{H^2}\left\{\frac{x^2}{(a^2+\lambda)^2}+\frac{y^2}{(b^2+\lambda)^2}+\frac{z^2}{(c^2+\lambda)^2}\right\}\\ &=\frac{4}{H}\end{align}$

また(2)から

$\displaystyle\begin{align} \frac{\partial^2 \lambda}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \lambda}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \lambda}{\partial z^2} &=\frac{2}{(a^2+\lambda)H}+\frac{8x^2K}{(a^2+\lambda)^2H^3}-\frac{8x^2}{(a^2+\lambda)^3H^2}\\ &\quad+\frac{2}{(b^2+\lambda)H}+\frac{8y^2K}{(b^2+\lambda)^2H^3}-\frac{8y^2}{(b^2+\lambda)^3H^2}\\ &\quad+\frac{2}{(c^2+\lambda)H}+\frac{8z^2K}{(c^2+\lambda)^2H^3}-\frac{8z^2}{(c^2+\lambda)^3H^2}\\ &=\frac{2}{H}\left(\frac{1}{a^2+\lambda}+\frac{1}{b^2+\lambda}+\frac{1}{c^2+\lambda}\right)\\ &\quad+\frac{8K}{H^3}\left\{\frac{x^2}{(a^2+\lambda)^2}+\frac{y^2}{(b^2+\lambda)^2}+\frac{z^2}{(c^2+\lambda)^2}\right\}\\ &\quad-\frac{8}{H^2}\left\{\frac{x^2}{(a^2+\lambda)^3}+\frac{y^2}{(b^2+\lambda)^3}+\frac{z^2}{(c^2+\lambda)^3}\right\}\\ &=\frac{2}{H}\left(\frac{1}{a^2+\lambda}+\frac{1}{b^2+\lambda}+\frac{1}{c^2+\lambda}\right)+\frac{8K}{H^2}-\frac{8K}{H^2}\\ &=\frac{2}{H}\left(\frac{1}{a^2+\lambda}+\frac{1}{b^2+\lambda}+\frac{1}{c^2+\lambda}\right)\end{align}$

が求まるので $F$ は

$\displaystyle\begin{align} F&=\left(\frac{\partial^2 \lambda}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \lambda}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \lambda}{\partial z^2}\right)/\left\{\left(\frac{\partial \lambda}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial \lambda}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial \lambda}{\partial z}\right)^2\right\}\\ &=\frac{2}{H}\left(\frac{1}{a^2+\lambda}+\frac{1}{b^2+\lambda}+\frac{1}{c^2+\lambda}\right)/\frac{4}{H}\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^2+\lambda}+\frac{1}{b^2+\lambda}+\frac{1}{c^2+\lambda}\right)\end{align}$

と $\lambda$ のみであらわせるので曲面群

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2+\lambda}+\frac{y^2}{b^2+\lambda}+\frac{z^2}{c^2+\lambda}-1=0\quad(\lambda \gt -c^2)$

は等電位面群である。

CとAの数物 Note

数学と物理のはざまに棲息。

楕円体導体がつくる等電位面