様々な形の静電容量(楕円体導体)

さて、楕円体導体がつくる等電位面は焦点を共有する楕円体であることはしめした。
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ここで導体の表面が

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0\quad(a\geq b\geq c\geq 0)$

で表される楕円体導体に与えられた電荷を $Q$ とする。このとき電位 $V$ は上の証明をする際に用いた関数 $F(\lambda)$ を用いて

$\displaystyle V=A\int^{\lambda}{\exp\left(-\int^{\lambda}{Fd\lambda}\right)d\lambda}+B$

$\displaystyle F=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^2+\lambda}+\frac{1}{b^2+\lambda}+\frac{1}{c^2+\lambda}\right)$

であったので

$\displaystyle \begin{align}\int^{\lambda}{Fd\lambda} &=\int^{\lambda}{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^2+\lambda}+\frac{1}{b^2+\lambda}+\frac{1}{c^2+\lambda}\right)d\lambda}\\ &=\frac{1}{2}\log\{(a^2+\lambda)(b^2+\lambda)(c^2+\lambda)\}\end{align}$

となる。孤立導体では無限遠点との電位差を考えるので $V(\lambda)$ は無限遠から $\lambda$ への積分になので

$\displaystyle V=A\int_{\infty}^{\lambda}{\frac{d\lambda}{\sqrt{(a^2+\lambda)(b^2+\lambda)(c^2+\lambda)}}}+B$

となる。原点から十分に離れた点では $a,b,c \ll \lambda$ が成り立つので等電位面の方程式

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2+\lambda}+\frac{y^2}{b^2+\lambda}+\frac{z^2}{c^2+\lambda}-1=0\quad(a\geq b\geq c\geq 0)$

から $x^2+y^2+z^2=r^2\simeq \lambda$ が分かる。また原点から十分に離れた点からは楕円体導体も点電荷に見做せるので電位は

$\displaystyle V\simeq\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}\simeq\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{\sqrt{\lambda}}$

となる。また

$\displaystyle V\simeq A\int_{\infty}^{\lambda}{\frac{d\lambda}{\sqrt{\lambda^3}}}+B=-\frac{2A}{\sqrt{\lambda}}+B$

であるので、2式を見比べて

$\displaystyle A=-\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0},\quad B=0$

を得る。よって電位は

$\displaystyle V=\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0}\int_{\lambda}^{\infty}{\frac{d\lambda}{\sqrt{(a^2+\lambda)(b^2+\lambda)(c^2+\lambda)}}}$

となり、導体の電位は $\lambda=0$ を代入し

$\displaystyle V=\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0}\int_{0}^{\infty}{\frac{d\lambda}{\sqrt{(a^2+\lambda)(b^2+\lambda)(c^2+\lambda)}}}$

つまり静電容量 $C$ は

$\displaystyle C=\frac{Q}{V}=8\pi\varepsilon_0\left\{\int_{0}^{\infty}{\frac{d\lambda}{\sqrt{(a^2+\lambda)(b^2+\lambda)(c^2+\lambda)}}}\right\}^{-1}$

と計算できる。

CとAの数物 Note

数学と物理のはざまに棲息。

様々な形の静電容量(楕円体導体)