CとAの数物 Note

数学と物理のはざまに棲息。

様々な形の静電容量(導体円板)

半径Rの導体円板に電荷Qを与える。円板は半軸がR,R,0である楕円体と考えることができ静電容量は様々な形の静電容量(楕円体導体)からすぐにだせるのだが、後のために今一度電位から求める。
c-and-a.hatenablog.com

円板がつくる等電位面群は\lambdaを用いて

\displaystyle \frac{x^2}{R^2+\lambda}+\frac{y^2}{R^2+\lambda}+\frac{z^2}{\lambda}-1=0

と表せた。これは\lambdaについての2次方程式であり

\displaystyle\lambda=\frac{x^2+y^2+z^2-R^2\pm\sqrt{(x^2+y^2+z^2-R^2)^2+4R^2z^2}}{2}

で\lambda\gt 0より

\displaystyle\lambda=\frac{x^2+y^2+z^2-R^2+\sqrt{(x^2+y^2+z^2-R^2)^2+4R^2z^2}}{2}

がわかる。x=r\cos{\theta},y=r\sin{\theta}と円筒座標に変換すれば

\displaystyle\lambda=\frac{r^2+z^2-R^2+\sqrt{(r^2+z^2-R^2)^2+4R^2z^2}}{2}\tag{1}

また電位は

\displaystyle\begin{align}V&=\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0}\int_{\lambda}^{\infty}{\frac{d\lambda}{(R^2+\lambda)\sqrt{\lambda}}} =\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0}\left[\frac{2}{R}\tan^{-1}{\frac{\sqrt{\lambda}}{R}}\right]_{\lambda}^{\infty}\\ &=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\left(\frac{\pi}{2}-\tan^{-1}{\frac{\sqrt{\lambda}}{R}}\right)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\tan^{-1}{\frac{R}{\sqrt{\lambda}}}\end{align}

(1)を代入すれば

\displaystyle\begin{align}V&=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{r^2+z^2-R^2+\sqrt{(r^2+z^2-R^2)^2+4R^2z^2}}}\right)\tag{2}}\end{align}

となる。これにz=0を代入し,r\lt Rに注意し計算すれば円板の電位を得る。

\displaystyle\begin{align}V&=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{r^2-R^2+\sqrt{(r^2-R^2)^2}}}\right)}\\ &=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{r^2-R^2+R^2-r^2}}\right)}\\ &=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\frac{\pi}{2}=\frac{Q}{8\varepsilon_0R}\end{align}

よって円板導体の静電容量Cは

\displaystyle C=\frac{Q}{V}=8\varepsilon_0R

である。この円板の軸上(r=0)の電場を求める。円板の対称性より電場はz方向にしか存在しない。つまり、軸上では\boldsymbol{E}=E_z\hat{z}である。また\boldsymbol{E}=-\nabla VであるのでE_{0z}=E_z(r=0,\theta,z)は(2)より

\displaystyle\begin{align}E_{0z}(z)&=-\frac{\partial}{\partial z}V\\ &=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\frac{\partial}{\partial z}\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{z^2-R^2+\sqrt{(z^2-R^2)^2+4R^2z^2}}}\right)}\\ &=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\frac{\partial}{\partial z}\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{z^2-R^2+z^2+R^2}}\right)}\\ &=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\frac{\partial}{\partial z}\tan^{-1}{\frac{R}{|z|}}\\ &=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\left(-\frac{R}{R^2+z^2}\frac{z}{|z|}\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R^2+z^2}\frac{z}{|z|}\end{align}

である。