CとAの数物 Note

数学と物理のはざまに棲息。

様々な形の静電容量(導体球)

電磁気学 静電容量

半径Rの導体球の静電容量を求める。

導体球を電荷Qだけ帯電させた。まずこの球の周りの電場から求める。球の対称性より電場の向きはすべて中心を背に向けた方向であるので、半径r\gt Rの球面Sで面積分すると、ガウスの定理より

\displaystyle\int_S{EdS}=E\cdot 4\pi r^2=\frac{Q}{\varepsilon_0}
\displaystyle \therefore E=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}

である。導体球の電位Vは

\displaystyle V=-\int_{\infty}^R{E dr}

であるので

\displaystyle \begin{align}V&=\int^{\infty}_R{E dr}\\ &=\left[-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}\right]_{r=R}^{\infty}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R}\end{align}

よって孤立導体球の静電容量Cは

\displaystyle C=\frac{Q}{V}=4\pi\varepsilon_0 R

である。