CとAの数物 Note

数学と物理のはざまに棲息。

隣接n項間漸化式の線形的アプローチ(6)

数列 一般化

隣接n項間漸化式の線形的アプローチ(5)の続き
c-and-a.hatenablog.com

さて、隣接項間漸化式の一般解を求めよう。

{\displaystyle \forall m\in\mathbb{N}\quad \sum_{i=0}^{n-1}{p_i f_{m+i}}=0}
p_{n-1}=1,p_0\neq 0

この漸化式の特性方程式は1次または2次の実係数多項式の積に因数分解できる。

\begin{align}\sum_{i=0}^{n-1}{p_i \lambda^{i}}=&(\lambda-r_1)^{g_1}(\lambda-r_2)^{g_2}\cdots (\lambda-r_k)^{g_k}\\&\times (\lambda^2+u_1\lambda+v_1)^{h_1}(\lambda^2+u_2\lambda+v_2)^{h_2}\cdots (\lambda^2+u_j\lambda+v_j)^{h_j}\end{align}

また、W\left(\left(\lambda-r_s\right)^{g_s}\right)のg_s個の基底は、\{m^d {r_s}^m\}_{m\in\mathbb{N}}(0\leq d \lt g_s)とかける。
W\left(\left(\lambda^2+u_t\lambda+v_t\right)^{h_t}\right)の2h_t個の基底は、\lambda^2+u_t\lambda+v_t=0の2解\lambda=\lambda_{t,\pm}を用いて、\{m^d ((\lambda_{t,+})^m+(\lambda_{t,-})^m)\}_{m\in\mathbb{N}},\{m^d i ((\lambda_{t,+})^m-(\lambda_{t,-})^m)\}_{m\in\mathbb{N}}(0\leq d\lt h_t)とかける。

さらに

\displaystyle \begin{align}V&=W\left(\sum_{i=0}^{n-1}{p_i \lambda^{i}}\right)\\&=W\left((\lambda-r_1)^{g_1}\right)\dot{+}W\left((\lambda-r_2)^{g_2}\right)\dot{+}\cdots\dot{+}W\left((\lambda-r_k)^{g_k}\right)\\ &\quad\dot{+}W\left((\lambda^2+u_1\lambda+v_1)^{h_1}\right)\dot{+}W\left((\lambda^2+u_2\lambda+v_2)^{h_2}\right)\dot{+}\\ &\quad \cdots \dot{+}W\left((\lambda^2+u_j\lambda+v_j)^{h_j}\right)\end{align}

と解の数列の集合は直和で分解できたので、Vのn-1個の基底は、
\{m^d {r_s}^m\}_{m\in\mathbb{N}},\{m^d ((\lambda_{t,+})^m+(\lambda_{t,-})^m)\}_{m\in\mathbb{N}},\{m^d i ((\lambda_{t,+})^m-(\lambda_{t,-})^m)\}_{m\in\mathbb{N}}
(1\leq s\leq k,0\leq d \lt g_s,1\leq t\leq j,0\leq d\lt h_t)
である。つまり、一般解はこれらの線形結合で表される。

隣接n項間漸化式の線形的アプローチ(7)へ続く
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