隣接n項間漸化式の線形的アプローチ(7)(具体例)

隣接 $n$ 項間漸化式の線形的アプローチ(6)の続き
c-and-a.hatenablog.com

具体例
例えば、漸化式が

$\begin{align}&f_{m+8}-3f_{m+7}-f_{m+6}+3f_{m+5}\\&\quad+9f_{m+4}+3f_{m+3}-10f_{m+2}-12f_{m+1}-8f_m=0\end{align}$

であったときの一般解を求めてみよう。この漸化式の特性方程式は

$(\lambda+1)(\lambda-2)^3(\lambda^2+\lambda+1)^2=0$

と、 $\mathbb{R}$ 上で因数分解できる(当然こうなるよう係数を決定した)。

$\lambda^2+\lambda+1=0$ の解の一方を $\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ とすると、他方は $\omega^{-1}=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ である。
なので、漸化式を満たす数列の集合 $V$ の基底は

$\{(-1)^m\}_{m\in\mathbb{N}},$ $\{2^m\}_{m\in\mathbb{N}},$ $\{m2^m\}_{m\in\mathbb{N}},$ $\{m^2 2^m\}_{m\in\mathbb{N}},$
$\{\omega^m+\omega^{-m}\}_{m\in\mathbb{N}},$ $\{m\omega^m+m\omega^{-m}\}_{m\in\mathbb{N}},$
$\{i\omega^m-i\omega^{-m}\}_{m\in\mathbb{N}},$ $\{mi\omega^m-mi\omega^{-m}\}_{m\in\mathbb{N}}$