CとAの数物 Note

数学と物理のはざまに棲息。

隣接n項間漸化式の線形的アプローチ(5)

数列一般化

隣接 $n$ 項間漸化式の線形的アプローチ(4)の続き
c-and-a.hatenablog.com

実は、 $\mathbb{R}$ 上の既約多項式の次数は高々2であることに気づいた。
c-and-a.hatenablog.com

もう少し早く気づいていれば、これまでの議論をより簡単にできたのに…(その場の思い付きで書くからこうなる)。

　特性方程式が既約多項式になる漸化式を満たす数列を考察しよう。
まず、特性方程式の次数が２のとき。漸化式は

$\displaystyle\forall m\in\mathbb{N}\quad f_{m+2}+pf_{m+1}+qf_m=0$

とかける。これを満たす数列の一般解は
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このページの(iii)に相当するので

$\displaystyle\lambda^2+p\lambda+q=0$

の複素数解を $\lambda=\lambda_{\pm}$ とすると、実数 $\alpha,\beta$ を用いて、一般解は

$\displaystyle f_m=(\alpha+\beta i) \lambda_{+}^m+(\alpha-\beta i)\lambda_{-}^m$

と表せる。また、複素数 $c=\alpha+\beta i$ を用いれば

$f_m=c \lambda_{+}^m+c^\ast {\lambda_{+}^\ast}^{m}$

と表せる。

特性方程式の次数が１のとき。漸化式は

$\displaystyle f_{m+1}+pf_m=0$

となり、この漸化式を満たす数列の集合 $W$ の次元 $\dim W$ は $1$ であるので、この一般解は実数 $\alpha$ を用いて

$f_m=\alpha (-p)^m$

と表せる。

隣接n項間漸化式の線形的アプローチ(6)へ続く
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