隣接n項間漸化式の線形的アプローチ(4)

隣接n項間漸化式の線形的アプローチ(3)の続き
c-and-a.hatenablog.com

　 $\{b_m\}_{m\in\mathbb{N}}\in W\left(Q(\lambda)\right)$ であるとして、 $\{b^g_{m}\}_{m\in\mathbb{N}}=\{m^g b_m\}_{m\in\mathbb{N}}$ という数列を考える。 $\{b^0_{m}\}_{m\in\mathbb{N}}\in W\left(\left(Q(\lambda)\right)^h\right)$ であることは既に示した。つぎに、 $0\leq g\lt h$ のとき $\{b^g_{m}\}_{m\in\mathbb{N}}\in W\left(\left(Q(\lambda)\right)^h\right)$ を示す。

　 $\left(Q(\lambda)\right)^h$ に対応する漸化式

$\displaystyle\forall m\in\mathbb{N}\quad \sum_{l_1=0}^{a}{}\sum_{l_2=0}^{a}{}\cdots\sum_{l_h=0}^{a}{q_{l_1}q_{l_2}\cdots q_{l_h} f_{m+l_1+l_2+\cdots+l_h}}=0$

の左辺に $\{b^g_{m}\}_{m\in\mathbb{N}}$ を代入すると

$\displaystyle\sum_{l_1=0}^{a}{}\sum_{l_2=0}^{a}{}\cdots\sum_{l_h=0}^{a}{q_{l_1}q_{l_2}\cdots q_{l_h} (m+l_1+l_2+\cdots+l_h)^g b_{m+l_1+l_2+\cdots+l_h}}$

となる。ここで、 $(m+l_1+l_2+\cdots+l_h)^g$ は、 $l_h$ を含む多項式 $R_h$ と含まない多項式 $R'_h$ に分解できる。よって

$\displaystyle\begin{align}&\sum_{l_1=0}^{a}{}\sum_{l_2=0}^{a}{}\cdots\sum_{l_h=0}^{a}{q_{l_1}q_{l_2}\cdots q_{l_h} \left(R_h+R'_h\right) b_{m+l_1+l_2+\cdots+l_h}}\\=&\sum_{l_1=0}^{a}{}\sum_{l_2=0}^{a}{}\cdots\sum_{l_h=0}^{a}{q_{l_1}q_{l_2}\cdots q_{l_h} R_h b_{m+l_1+l_2+\cdots+l_h}}\\ &\quad +\sum_{l_1=0}^{a}{}\sum_{l_2=0}^{a}{}\cdots q_{l_1}q_{l_2}\cdots q_{l_{h-1}}R'_h\sum_{l_h=0}^{a}{q_{l_h} b_{m+l_1+l_2+\cdots+l_h}}\\=&\sum_{l_1=0}^{a}{}\sum_{l_2=0}^{a}{}\cdots\sum_{l_h=0}^{a}{q_{l_1}q_{l_2}\cdots q_{l_h} R_h b_{m+l_1+l_2+\cdots+l_h}}\end{align}$

となる。つまり $l_h$ を含まない項を落とすことが出来る。続いて $R_h$ は $l_{h-1}$ を含む多項式 $R_{h-1}$ と含まない多項式 $R'_{h-1}$ に分解できる。すると、和の順序を変えて

$\displaystyle\begin{align}&\sum_{l_1=0}^{a}{}\sum_{l_2=0}^{a}{}\cdots\sum_{l_h=0}^{a}{q_{l_1}q_{l_2}\cdots q_{l_h} R_h b_{m+l_1+l_2+\cdots+l_h}}\\=&\sum_{l_h=0}^{a}{}\sum_{l_1=0}^{a}{}\cdots\sum_{l_{h-1}=0}^{a}{q_{l_h}q_{l_1}\cdots q_{l_{h-1}} \left(R_{h-1}+R'_{h-1}\right) b_{m+l_h+l_1+\cdots+l_{h-1}}}\\=&\sum_{l_h=0}^{a}{}\sum_{l_1=0}^{a}{}\cdots\sum_{l_{h-1}=0}^{a}{q_{l_h}q_{l_1}\cdots q_{l_{h-1}}R_{h-1} b_{m+l_h+l_1+\cdots+l_{h-1}}}\\ &\quad+\sum_{l_h=0}^{a}{}\sum_{l_1=0}^{a}{}\cdots q_{l_h}q_{l_1}\cdots q_{l_{h-2}}R'_{h-1}\sum_{l_{h-1}=0}^{a}{q_{l_{h-1}} b_{m+l_h+l_1+\cdots+l_{h-1}}}\\=&\sum_{l_h=0}^{a}{}\sum_{l_1=0}^{a}{}\cdots\sum_{l_{h-1}=0}^{a}{q_{l_h}q_{l_1}\cdots q_{l_{h-1}}R_{h-1} b_{m+l_h+l_1+\cdots+l_{h-1}}}\end{align}$

となる。つまり、 $l_{h-1}$ を含まない項を落とすことが出来た。これを繰り返していくと、最終的に

$\displaystyle\begin{align}&\sum_{l_1=0}^{a}{}\sum_{l_2=0}^{a}{}\cdots\sum_{l_h=0}^{a}{q_{l_1}q_{l_2}\cdots q_{l_h} (m+l_1+l_2+\cdots+l_h)^g b_{m+l_1+l_2+\cdots+l_h}}\\=&\sum_{l_1=0}^{a}{}\sum_{l_2=0}^{a}{}\cdots\sum_{l_h=0}^{a}{q_{l_1}q_{l_2}\cdots q_{l_h} R_1 b_{m+l_1+l_2+\cdots+l_h}}\end{align}$

とできる。ここで、 $R_1$ は $l_1,l_2,\cdots,l_h$ を全て含む項である。しかし、 $g\lt h$ であるので、 $(m+l_1+l_2+\cdots+l_h)^g$ にそのような項は存在しない。つまり $R_1=0$ とわかるので

$\displaystyle\forall m\in\mathbb{N}\quad \sum_{l_1=0}^{a}{}\sum_{l_2=0}^{a}{}\cdots\sum_{l_h=0}^{a}{q_{l_1}q_{l_2}\cdots q_{l_h} b^g_{m+l_1+l_2+\cdots+l_h}}=0$

つまり $0\leq g\lt h$ のとき $\{b^g_{m}\}_{m\in\mathbb{N}}\in W\left(\left(Q(\lambda)\right)^h\right)$ が示された。さらに

$\dim W\left(\left(Q(\lambda)\right)^h\right)=\deg \left(Q(\lambda)\right)^h=\deg Q(\lambda) \cdot h=ah$

となり $W(Q(\lambda))$ の $a$ 個の基底を $\{b^0_{s,m}\}_{m\in\mathbb{N}}(1\leq s\leq a)$ とすると、 $W\left(\left(Q(\lambda)\right)^h\right)$ の $ah$ 個の基底は $\{b^g_{s,m}\}_{m\in\mathbb{N}}(1\leq s\leq a, 0\leq g\lt h)$ となる。

隣接 $n$ 項間漸化式の線形的アプローチ(5)へ続く
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CとAの数物 Note

数学と物理のはざまに棲息。

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