CとAの数物 Note

数学と物理のはざまに棲息。

Maxwell方程式の高次元化(Lorenzゲージ)

Maxwell方程式 電磁気学

c-and-a.hatenablog.com

このページではMaxwell方程式

\displaystyle \left\lbrace {\begin{matrix}\nabla \cdot \boldsymbol{E}& =& {{\rho }/{{\varepsilon }_{0}}}\\ \nabla \cdot \boldsymbol{B}& =& 0\\ \nabla \times \boldsymbol{E}+\frac {\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}& =& 0\\ \nabla \times \boldsymbol{B}+\frac {1}{{c}^{2}}\frac {\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}& =& {\mu }_{0}\boldsymbol{j}\end{matrix}}\right.

の第二式、第三式を用いて、スカラーポテンシャル\phiとベクトルポテンシャル \boldsymbol{A}を

\displaystyle \boldsymbol{B}=\nabla \times \boldsymbol{A},\quad\boldsymbol{E}+\frac {\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}=-\nabla \phi

が成り立つとした。

これを第一式に代入すると

\displaystyle \begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{E}&=\nabla \cdot \left({-\nabla \phi -\frac {\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}}\right) \\ &=-\mathrm{\Delta }\phi -\frac {\partial }{\partial t}\left({\nabla \cdot \boldsymbol{A}}\right)={{\rho }/{{\varepsilon }_{0}}}\end{align}

また、第四式に代入すれば

\displaystyle \begin{align} \nabla \times \boldsymbol{B}-\frac {1}{{c}^{2}}\frac {\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}&=\nabla \times \left({\nabla \times \boldsymbol{A}}\right)-\frac {1}{{c}^{2}}\frac {\partial }{\partial t}\left({-\nabla \phi -\frac {\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}}\right) \\ &=\nabla \left({\nabla \cdot \boldsymbol{A}}\right)-\mathrm{\Delta }\boldsymbol{A}+\frac {1}{{c}^{2}}\frac {\partial }{\partial t}\nabla \phi +\frac {1}{{c}^{2}}\frac {{\partial }^{2}\boldsymbol{A}}{\partial {t}^{2}} \\ &=\nabla \left({\nabla \cdot \boldsymbol{A}+\frac {1}{{c}^{2}}\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)+\frac {1}{{c}^{2}}\frac {{\partial }^{2}\boldsymbol{A}}{\partial {t}^{2}}-\mathrm{\Delta }\boldsymbol{A}={\mu }_{0}\boldsymbol{j}\end{align}

ここで

\displaystyle \nabla \cdot \boldsymbol{A}+\frac {1}{{c}^{2}}\frac {\partial \phi }{\partial t}=0

となるようにゲージを定める(これをLorenzゲージ条件という)。ポテンシャルの不定性を捨てることにより、第一式は

\displaystyle \begin{align} -\mathrm{\Delta }\phi -\frac {\partial }{\partial t}\left({\nabla \cdot \boldsymbol{A}}\right)&=-\mathrm{\Delta }\phi-\frac {\partial }{\partial t}\left({-\frac {1}{{c}^{2}}\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right) \\ &=\frac {1}{{c}^{2}}\frac {{\partial }^{2}\phi }{\partial {t}^{2}}-\mathrm{\Delta }\phi ={{\rho }/{{\varepsilon }_{0}}}\end{align}

また、第四式は

\displaystyle \begin{align} \nabla \left({\nabla \cdot \boldsymbol{A}+\frac {1}{{c}^{2}}\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)+\frac {1}{{c}^{2}}\frac {{\partial }^{2}\boldsymbol{A}}{\partial {t}^{2}}-\mathrm{\Delta }\boldsymbol{A} &=\frac {1}{{c}^{2}}\frac {{\partial }^{2}\boldsymbol{A}}{\partial {t}^{2}}-\mathrm{\Delta }\boldsymbol{A}={\mu }_{0}\boldsymbol{j}\end{align}

と表せる。第二式と第三式についてはポテンシャルの定義から示せるので、結局スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルを用いれば、Maxwell方程式は

\displaystyle \square \phi ={{\rho }/{{\varepsilon }_{0}}},\quad\square \boldsymbol{A}={\mu }_{0}\boldsymbol{j}

と簡潔にまとめられる。なお \square はd'Alembert演算子であり

\displaystyle \square ≔\frac {1}{{c}^{2}}\frac {{\partial }^{2}}{\partial {t}^{2}}-\mathrm{\Delta }

と定義される。

Maxwell方程式の高次元化(ゲージ変換)

電磁気学 Maxwell方程式

3次元においてはMaxwell方程式は

\displaystyle \left\lbrace {\begin{matrix}\nabla \cdot \boldsymbol{E}& =& {{\rho }/{{\varepsilon }_{0}}}\\ \nabla \cdot \boldsymbol{B}& =& 0\\ \nabla \times \boldsymbol{E}+\frac {\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}& =& 0\\ \nabla \times \boldsymbol{B}-\frac {1}{{c}^{2}}\frac {\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}& =& {\mu }_{0}\boldsymbol{j}\end{matrix}}\right.

と与えられる。ここまでの導出は諸々の本なりサイトに書かれているので割愛しよう。

さて、この２の場(電場と磁場)の式を2つのポテンシャル(スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャル)で表される式にする。

まず

\displaystyle \nabla \cdot \boldsymbol{B}=0

より

\displaystyle \boldsymbol{B}=\nabla \times \boldsymbol{A}

を満たすベクトルポテンシャル \boldsymbol{A} が存在する。

また

\displaystyle \nabla \times \boldsymbol{E}+\frac {\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}=0

にベクトルポテンシャルを代入して

\displaystyle \begin{align} \nabla \times \boldsymbol{E}+\frac {\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} &=\nabla \times \boldsymbol{E}+\frac {\partial }{\partial t}\nabla \times \boldsymbol{A} \\ &=\nabla \times \left({\boldsymbol{E}+\frac {\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}}\right)=0\end{align}

より

\displaystyle \boldsymbol{E}+\frac {\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}=-\nabla \phi

を満たすスカラーポテンシャル \phi が存在する。任意関数 \chi に対して

\displaystyle {\boldsymbol{A}}^{\boldsymbol{\prime }}=\boldsymbol{A}+\nabla χ,\quad{\phi }^{\prime }=\phi -\frac {\partial χ}{\partial t}

という変換をしても

\displaystyle \begin{align} {\boldsymbol{B}}^{\prime }&=\nabla \times {\boldsymbol{A}}^{\prime }=\nabla \times \left({\boldsymbol{A}+\nabla χ}\right) \\ &=\nabla \times \boldsymbol{A}+\nabla \times \left({\nabla χ}\right)=\nabla \times \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}\end{align}

\displaystyle \begin{align} {\boldsymbol{E}}^{\prime }&=-\nabla {\phi }^{\prime }-\frac {\partial {\boldsymbol{A}}^{\boldsymbol{\prime }}}{\partial t}=-\nabla \left({\phi -\frac {\partial χ}{\partial t}}\right)-\frac {\partial }{\partial t}\left({\boldsymbol{A}+\nabla χ}\right) \\ &=-\nabla \phi -\frac {\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}=\boldsymbol{E}\end{align}

と磁場電場共に影響を受けないためMaxwell方程式も成立する。つまり二つのポテンシャルは任意関数 \chi の不定性がある。この変換のことをゲージ変換という。

様々な形の静電容量(導体円板)

半径Rの導体円板に電荷Qを与える。円板は半軸がR,R,0である楕円体と考えることができ静電容量は様々な形の静電容量(楕円体導体)からすぐにだせるのだが、後のために今一度電位から求める。
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円板がつくる等電位面群は\lambdaを用いて

\displaystyle \frac{x^2}{R^2+\lambda}+\frac{y^2}{R^2+\lambda}+\frac{z^2}{\lambda}-1=0

と表せた。これは\lambdaについての2次方程式であり

\displaystyle\lambda=\frac{x^2+y^2+z^2-R^2\pm\sqrt{(x^2+y^2+z^2-R^2)^2+4R^2z^2}}{2}

で\lambda\gt 0より

\displaystyle\lambda=\frac{x^2+y^2+z^2-R^2+\sqrt{(x^2+y^2+z^2-R^2)^2+4R^2z^2}}{2}

がわかる。x=r\cos{\theta},y=r\sin{\theta}と円筒座標に変換すれば

\displaystyle\lambda=\frac{r^2+z^2-R^2+\sqrt{(r^2+z^2-R^2)^2+4R^2z^2}}{2}\tag{1}

また電位は

\displaystyle\begin{align}V&=\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0}\int_{\lambda}^{\infty}{\frac{d\lambda}{(R^2+\lambda)\sqrt{\lambda}}} =\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0}\left[\frac{2}{R}\tan^{-1}{\frac{\sqrt{\lambda}}{R}}\right]_{\lambda}^{\infty}\\ &=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\left(\frac{\pi}{2}-\tan^{-1}{\frac{\sqrt{\lambda}}{R}}\right)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\tan^{-1}{\frac{R}{\sqrt{\lambda}}}\end{align}

(1)を代入すれば

\displaystyle\begin{align}V&=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{r^2+z^2-R^2+\sqrt{(r^2+z^2-R^2)^2+4R^2z^2}}}\right)\tag{2}}\end{align}

となる。これにz=0を代入し,r\lt Rに注意し計算すれば円板の電位を得る。

\displaystyle\begin{align}V&=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{r^2-R^2+\sqrt{(r^2-R^2)^2}}}\right)}\\ &=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{r^2-R^2+R^2-r^2}}\right)}\\ &=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\frac{\pi}{2}=\frac{Q}{8\varepsilon_0R}\end{align}

よって円板導体の静電容量Cは

\displaystyle C=\frac{Q}{V}=8\varepsilon_0R

である。この円板の軸上(r=0)の電場を求める。円板の対称性より電場はz方向にしか存在しない。つまり、軸上では\boldsymbol{E}=E_z\hat{z}である。また\boldsymbol{E}=-\nabla VであるのでE_{0z}=E_z(r=0,\theta,z)は(2)より

\displaystyle\begin{align}E_{0z}(z)&=-\frac{\partial}{\partial z}V\\ &=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\frac{\partial}{\partial z}\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{z^2-R^2+\sqrt{(z^2-R^2)^2+4R^2z^2}}}\right)}\\ &=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\frac{\partial}{\partial z}\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{z^2-R^2+z^2+R^2}}\right)}\\ &=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\frac{\partial}{\partial z}\tan^{-1}{\frac{R}{|z|}}\\ &=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\left(-\frac{R}{R^2+z^2}\frac{z}{|z|}\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R^2+z^2}\frac{z}{|z|}\end{align}

である。

様々な形の静電容量(楕円体導体)

電磁気学 静電容量

さて、楕円体導体がつくる等電位面は焦点を共有する楕円体であることはしめした。
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ここで導体の表面が

\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0\quad(a\geq b\geq c\geq 0)

で表される楕円体導体に与えられた電荷をQとする。このとき電位Vは上の証明をする際に用いた関数F(\lambda)を用いて

\displaystyle V=A\int^{\lambda}{\exp\left(-\int^{\lambda}{Fd\lambda}\right)d\lambda}+B

と表せた。
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\displaystyle F=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^2+\lambda}+\frac{1}{b^2+\lambda}+\frac{1}{c^2+\lambda}\right)

であったので

\displaystyle \begin{align}\int^{\lambda}{Fd\lambda} &=\int^{\lambda}{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^2+\lambda}+\frac{1}{b^2+\lambda}+\frac{1}{c^2+\lambda}\right)d\lambda}\\ &=\frac{1}{2}\log\{(a^2+\lambda)(b^2+\lambda)(c^2+\lambda)\}\end{align}

となる。孤立導体では無限遠点との電位差を考えるのでV(\lambda)は無限遠から\lambdaへの積分になので

\displaystyle V=A\int_{\infty}^{\lambda}{\frac{d\lambda}{\sqrt{(a^2+\lambda)(b^2+\lambda)(c^2+\lambda)}}}+B

となる。原点から十分に離れた点ではa,b,c \ll \lambdaが成り立つので等電位面の方程式

\displaystyle \frac{x^2}{a^2+\lambda}+\frac{y^2}{b^2+\lambda}+\frac{z^2}{c^2+\lambda}-1=0\quad(a\geq b\geq c\geq 0)

からx^2+y^2+z^2=r^2\simeq \lambdaが分かる。また原点から十分に離れた点からは楕円体導体も点電荷に見做せるので電位は

\displaystyle V\simeq\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}\simeq\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{\sqrt{\lambda}}

となる。また

\displaystyle V\simeq A\int_{\infty}^{\lambda}{\frac{d\lambda}{\sqrt{\lambda^3}}}+B=-\frac{2A}{\sqrt{\lambda}}+B

であるので、2式を見比べて

\displaystyle A=-\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0},\quad B=0

を得る。よって電位は

\displaystyle V=\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0}\int_{\lambda}^{\infty}{\frac{d\lambda}{\sqrt{(a^2+\lambda)(b^2+\lambda)(c^2+\lambda)}}}

となり、導体の電位は\lambda=0を代入し

\displaystyle V=\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0}\int_{0}^{\infty}{\frac{d\lambda}{\sqrt{(a^2+\lambda)(b^2+\lambda)(c^2+\lambda)}}}

つまり静電容量Cは

\displaystyle C=\frac{Q}{V}=8\pi\varepsilon_0\left\{\int_{0}^{\infty}{\frac{d\lambda}{\sqrt{(a^2+\lambda)(b^2+\lambda)(c^2+\lambda)}}}\right\}^{-1}

と計算できる。

楕円体導体がつくる等電位面

電磁気学

半軸がa,b,c (a\geq b\geq c\geq 0)の楕円体導体をかんがえる。このとき、楕円体の表面は

\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0

という方程式で表される。また、この楕円体と焦点を共有する楕円体群は\lambdaを用いて

\displaystyle \frac{x^2}{a^2+\lambda}+\frac{y^2}{b^2+\lambda}+\frac{z^2}{c^2+\lambda}-1=0\quad(\lambda \gt -c^2)

と表される。
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この曲面群が等電位面群であることを示す。

\displaystyle x^2=(a^2+\lambda)\left(1-\frac{y^2}{b^2+\lambda}-\frac{z^2}{c^2+\lambda}\right)

とかけるので

\displaystyle\begin{align} 2x\frac{\partial x}{\partial \lambda}&=\left(1-\frac{y^2}{b^2+\lambda}-\frac{z^2}{c^2+\lambda}\right)+(a^2+\lambda)\left\{\frac{y^2}{(b^2+\lambda)^2}+\frac{z^2}{(c^2+\lambda)^2}\right\}\\ &=\frac{x^2}{a^2+\lambda}+(a^2+\lambda)\left\{\frac{y^2}{(b^2+\lambda)^2}+\frac{z^2}{(c^2+\lambda)^2}\right\}\\ &=(a^2+\lambda)\left\{\frac{x^2}{(a^2+\lambda)^2}+\frac{y^2}{(b^2+\lambda)^2}+\frac{z^2}{(c^2+\lambda)^2}\right\}\end{align}

ここで

\displaystyle H=\frac{x^2}{(a^2+\lambda)^2}+\frac{y^2}{(b^2+\lambda)^2}+\frac{z^2}{(c^2+\lambda)^2}

とおけば

\displaystyle \frac{\partial \lambda}{\partial x}=\frac{2x}{(a^2+\lambda)H}\tag{1}

となる。2階の偏微分は

\displaystyle\frac{\partial^2 \lambda}{\partial x^2}=\frac{2}{(a^2+\lambda)H}-\frac{2x}{(a^2+\lambda)H^2}\frac{\partial H}{\partial x}-\frac{2x}{(a^2+\lambda)^2H}\frac{\partial \lambda}{\partial x}

Hの偏微分について

\displaystyle \begin{align}\frac{\partial H}{\partial x}&=\frac{2x}{(a^2+\lambda)^2}+\frac{\partial H}{\partial \lambda}\frac{\partial \lambda}{\partial x}\\ &=\frac{2x}{(a^2+\lambda)^2}+\frac{2x}{(a^2+\lambda)H}\left\{-2\frac{x^2}{(a^2+\lambda)^3}-2\frac{y^2}{(b^2+\lambda)^3}-2\frac{z^2}{(c^2+\lambda)^3}\right\}\end{align}

となるので

\displaystyle　K=\frac{x^2}{(a^2+\lambda)^3}+\frac{y^2}{(b^2+\lambda)^3}+\frac{z^2}{(c^2+\lambda)^3}

とおけば

\displaystyle\begin{align}\frac{\partial^2 \lambda}{\partial x^2}&=\frac{2}{(a^2+\lambda)H}-\frac{2x}{(a^2+\lambda)H^2}\left\{\frac{2x}{(a^2+\lambda)^2}-\frac{4Kx}{(a^2+\lambda)H}\right\}\\&\quad-\frac{2x}{(a^2+\lambda)^2H}\frac{2x}{(a^2+\lambda)H}\\ &=\frac{2}{(a^2+\lambda)H}+\frac{8x^2K}{(a^2+\lambda)^2H^3}-\frac{8x^2}{(a^2+\lambda)^3H^2}\tag{2}\end{align}

を得る。(1)から

\displaystyle \begin{align} \left(\frac{\partial \lambda}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial \lambda}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial \lambda}{\partial z}\right)^2 &=\frac{4x^2}{(a^2+\lambda)^2H^2}+\frac{4y^2}{(b^2+\lambda)^2H^2}+\frac{4z^2}{(c^2+\lambda)^2H^2}\\ &=\frac{4}{H^2}\left\{\frac{x^2}{(a^2+\lambda)^2}+\frac{y^2}{(b^2+\lambda)^2}+\frac{z^2}{(c^2+\lambda)^2}\right\}\\ &=\frac{4}{H}\end{align}

また(2)から

\displaystyle\begin{align} \frac{\partial^2 \lambda}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \lambda}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \lambda}{\partial z^2} &=\frac{2}{(a^2+\lambda)H}+\frac{8x^2K}{(a^2+\lambda)^2H^3}-\frac{8x^2}{(a^2+\lambda)^3H^2}\\ &\quad+\frac{2}{(b^2+\lambda)H}+\frac{8y^2K}{(b^2+\lambda)^2H^3}-\frac{8y^2}{(b^2+\lambda)^3H^2}\\ &\quad+\frac{2}{(c^2+\lambda)H}+\frac{8z^2K}{(c^2+\lambda)^2H^3}-\frac{8z^2}{(c^2+\lambda)^3H^2}\\ &=\frac{2}{H}\left(\frac{1}{a^2+\lambda}+\frac{1}{b^2+\lambda}+\frac{1}{c^2+\lambda}\right)\\ &\quad+\frac{8K}{H^3}\left\{\frac{x^2}{(a^2+\lambda)^2}+\frac{y^2}{(b^2+\lambda)^2}+\frac{z^2}{(c^2+\lambda)^2}\right\}\\ &\quad-\frac{8}{H^2}\left\{\frac{x^2}{(a^2+\lambda)^3}+\frac{y^2}{(b^2+\lambda)^3}+\frac{z^2}{(c^2+\lambda)^3}\right\}\\ &=\frac{2}{H}\left(\frac{1}{a^2+\lambda}+\frac{1}{b^2+\lambda}+\frac{1}{c^2+\lambda}\right)+\frac{8K}{H^2}-\frac{8K}{H^2}\\ &=\frac{2}{H}\left(\frac{1}{a^2+\lambda}+\frac{1}{b^2+\lambda}+\frac{1}{c^2+\lambda}\right)\end{align}

が求まるのでFは

\displaystyle\begin{align} F&=\left(\frac{\partial^2 \lambda}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \lambda}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \lambda}{\partial z^2}\right)/\left\{\left(\frac{\partial \lambda}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial \lambda}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial \lambda}{\partial z}\right)^2\right\}\\ &=\frac{2}{H}\left(\frac{1}{a^2+\lambda}+\frac{1}{b^2+\lambda}+\frac{1}{c^2+\lambda}\right)/\frac{4}{H}\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^2+\lambda}+\frac{1}{b^2+\lambda}+\frac{1}{c^2+\lambda}\right)\end{align}

と\lambdaのみであらわせるので曲面群

\displaystyle \frac{x^2}{a^2+\lambda}+\frac{y^2}{b^2+\lambda}+\frac{z^2}{c^2+\lambda}-1=0\quad(\lambda \gt -c^2)

は等電位面群である。

等電位面の満たす条件

電磁気学

等電位面が満たす条件を調べる。
\lambdaを変数とする、曲面群f(x,y,z,\lambda)=0が電荷の無い空間で等電位面群になる条件は

\displaystyle F=\left(\frac{\partial^2 \lambda}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \lambda}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \lambda}{\partial z^2}\right)/\left\{\left(\frac{\partial \lambda}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial \lambda}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial \lambda}{\partial z}\right)^2\right\}

が\lambdaだけの関数になることである。

証明
電荷の無い領域では電位\varphiはラプラス方程式

\displaystyle \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2}=0

を満たす。曲面群f(x,y,z,\lambda)=0のなかの一つの曲面は\lambdaを定めることにより定まり、等電位面では\varphiは一定なので、\varphiは\lambdaのみで表すことが出来る筈である。このとき

\displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{d\varphi}{d\lambda}\frac{\partial \lambda}{\partial x}, \displaystyle \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}=\frac{d\varphi}{d\lambda}\frac{\partial^2 \lambda}{\partial x^2}+\frac{d^2\varphi}{d\lambda^2}\left(\frac{\partial \lambda}{\partial x}\right)^2

が成り立つ。y,zについても同様。これらをラプラス方程式に代入すれば

\displaystyle\frac{d\varphi}{d\lambda}\left(\frac{\partial^2 \lambda}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \lambda}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \lambda}{\partial z^2}\right)+\frac{d^2\varphi}{d\lambda^2}\left\{\left(\frac{\partial \lambda}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial \lambda}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial \lambda}{\partial z}\right)^2\right\}=0

つまり

\displaystyle \begin{align}F&=\left(\frac{\partial^2 \lambda}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \lambda}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \lambda}{\partial z^2}\right)/\left\{\left(\frac{\partial \lambda}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial \lambda}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial \lambda}{\partial z}\right)^2\right\}\\ &=-\frac{d^2\varphi}{d\lambda^2}/\frac{d\varphi}{d\lambda}\end{align}

となりFは\lambdaのみの関数である。
逆にFが\lambdaのみの関数であるとき

\displaystyle \frac{d}{d\lambda}\left(\frac{d\varphi}{d\lambda}\right)/\frac{d\varphi}{d\lambda}=-F(\lambda)

積分して

\displaystyle \log \left(\frac{d\varphi}{d\lambda}\right)=-\int^{\lambda}{Fd\lambda}+C
\displaystyle \frac{d\varphi}{d\lambda}=A\exp\left(-\int^{\lambda}{Fd\lambda}\right)

更に積分して

\displaystyle \varphi(\lambda)=A\int^{\lambda}{\exp\left(-\int^{\lambda}{Fd\lambda}\right)d\lambda}+B

となる。これはラプラス方程式を満たすため、\lambdaで表される等電位面が定まる。
証明終

様々な形の静電容量(導体球)

電磁気学 静電容量

半径Rの導体球の静電容量を求める。

導体球を電荷Qだけ帯電させた。まずこの球の周りの電場から求める。球の対称性より電場の向きはすべて中心を背に向けた方向であるので、半径r\gt Rの球面Sで面積分すると、ガウスの定理より

\displaystyle\int_S{EdS}=E\cdot 4\pi r^2=\frac{Q}{\varepsilon_0}
\displaystyle \therefore E=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}

である。導体球の電位Vは

\displaystyle V=-\int_{\infty}^R{E dr}

であるので

\displaystyle \begin{align}V&=\int^{\infty}_R{E dr}\\ &=\left[-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}\right]_{r=R}^{\infty}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R}\end{align}

よって孤立導体球の静電容量Cは

\displaystyle C=\frac{Q}{V}=4\pi\varepsilon_0 R

である。