隣接n項間漸化式の線形的アプローチ

実数列 ${\{f_m\}_{m\in\mathbb{N}}}$ の隣接 $n$ 項間漸化式

$\forall m\in\mathbb{N}\quad \sum_{i=0}^{n-1}{p_i f_{m+i}}=0}\tag{1$

の一般解を考える。なお、 $n\geq 2$ かつ ${p_i\in\mathbb{R}(i=0,1,\dotso,n-1\wedge p_{n-1}=1,p_0\neq 0)}$ とする。
c-and-a.hatenablog.com
隣接三項間漸化式の線形的アプローチで示したように、隣接３項間漸化式の解の集合 $V$ は2次元ベクトル空間である。同様な議論で、(1)の解の集合 $V_n$ は、 $n-1$ 次元ベクトル空間であることが分かる。よって、一次独立な数列を $n-1$ 個みつければ、他の解はそれの線形和で表される。

　まず、(1)の特性方程式

$\sum_{i=0}^{n-1}{p_i \lambda^i}=0$

を得る。これは $n-1$ 次方程式である。ここで、特性方程式が自然数 $j,h_k(k=1,2,\dotso,j)$ を用いて

$\sum_{i=0}^{n-1}{p_i \lambda^i}=\prod_{k=1}^{j}{\left(P_k(\lambda)\right)^{h_k}}=0}\tag{2$
$\sum_{k=1}^{j}{\deg P_k \cdot h_k}=n-1\wedge j\leq n-1$

と因数分解できたとする。なお各 $P_k(\lambda)$ はモニックな $\mathbb{R}$ 上既約多項式とする。

　また、各 $k\in\mathbb{N}(1\leq k\leq j)$ に対して、 $q_{k,l}\in\mathbb{C}(0\leq l\leq m_k\wedge q_{k,h_k}=1)$ を用いて

${\displaystyle　\left(P_k(\lambda)\right)^{h_k}=\sum_{l=0}^{h_k}{q_{k,l}\lambda^{l}}}$

と展開し、新たに数列 ${\{f_{k,m}\}_{m\in\mathbb{N}}}$ の隣接 $m_k+1$ 項間漸化式

${\displaystyle\forall m\in\mathbb{N}\quad\sum_{l=0}^{deg P_k \cdot h_k}{q_{k,l}f_{k,m+l}}=0}$

を作る。この漸化式の解の集合を $U_k$ とする。このとき、 $U_k$ は $\deg P_k \cdot h_k$ 次元ベクトル空間である。

　次に(2)を複素数 ${r_{k,t}(0\leq t \leq n-h_k-1\wedge r_{k,n-h_k-1}=1)}$ を用いて

${\displaystyle\begin{align}\prod_{k=1}^{j}{(P_k(\lambda))^{h_k}}&=\sum_{t=0}^{n-\deg P_k \cdot h_k-1}{r_{k,t}\lambda^t(P_k(\lambda))^{h_k}}\\&=\sum_{t=0}^{n-\deg P_k \cdot h_k-1}{r_{k,t}\lambda^t\sum_{l=0}^{\deg P_k \cdot h_k}{q_{k,l}\lambda^{l}}}\\&=\sum_{t=0}^{n-\deg P_k \cdot h_k-1}{r_{k,t}\sum_{l=0}^{\deg P_k \cdot h_k}{q_{k,l}\lambda^{l+t}}}\\&=\sum_{t=0}^{n-\deg P_k \cdot h_k-1}{r_{k,t}\sum_{l=0}^{\deg P_k \cdot h_k}{q_{k,l}\lambda^{m+l+t}}}=0\end{align}}$